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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 必备六 解题技法增分必备六 解题技法增分 技法一 特例法 在解填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数 列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检验,省 去了推理论证及烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到 的一种方法,应用得当会有事半功倍的效果. 典型例题 例 1 (1)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等差数列,则 cosA + cosC 1 + cosAcosC = . (2
2、)AD,BE 分别是ABC 的中线,若|=|=1,且与的夹角为 120,则= . ADBEADBEABAC 答案 (1) (2) 4 5 2 3 解析 (1)利用特例法,令 a=3,b=4,c=5,则ABC 为直角三角形,cosA= ,cosC=0,从而所求值为 . 4 5 4 5 (2)易知等边三角形为符合题意的ABC 的一个特例,则|AB|=,=|cos60= . 23 3 ABACABAC 2 3 【方法归纳】 当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案 是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理. 跟踪集训 1.
3、求值:cos2a+cos2(a+120)+cos2(a+240)= . 2.已知 m,n 是直线, 是平面,给出下列命题:若 ,则 ;若 n,n, 则 ;若 内不共线的三点到 的距离都相等,则 ;若 n,m,且 n,m, 则 ;若m,n为异面直线,n,n,m,m,则.其中正确的命题是 .(把你认 为正确的命题序号都填上) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.如图,点 P 为椭圆 + =1 上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点 A、上顶点 B 分别作 y 轴、x 轴的 x2 25 y2 9 平行线,它们相交于点 C,过点 P 引 BC,AC 的平行线,分别交 AC 于点 N,交 B
4、C 于点 M,交 AB 于 D、E 两点,记 矩形 PMCN 的面积为 S1,三角形 PDE 的面积为 S2,则 S1S2= . 技法二 图解法 典型例题 例 2 (1)直线 y=x+m 与曲线 x=有且仅有一个公共点,则 m 的取值范围1 - y2 是 . (2)已知函数 f(x)=(a0,且 a1)在 R 上单调递减,且关于 x 的方程 x 2 + (4a - 3)x + 3a,x 0, 有 4 个不同的解,则实数 k 的取值范围为 . 技法三 等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题,从而得到正确的结果. 典型例题 例 3 对任意的|m|2,函数 f(
5、x)=mx2-2x+1-m 恒负,则 x 的取值范围为 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 ( 7 - 1 2 , 3 + 1 2 ) 解析 对任意的|m|2,有 mx2-2x+1-m 0, 2x2- 2x - 1 0).设 G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点 x1,x2,且 x1,x0,x2成 等差数列,试探究 G(x0)的符号. 解析 因为 G(x)=x2+2-alnx-bx 有两个零点 x1,x2, 所以x 2 1+ 2 - alnx1- bx1= 0, x22+ 2 - alnx2- bx2= 0, 两式相减得-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0,
6、x22x21 即 x2+x1-b=, a(lnx2- lnx1) x2- x1 于是 G(x0)=2x0- -b=(x1+x2-b)- a x0 2a x1+ x2 =-= a(lnx2- lnx1) x2- x1 2a x1+ x2 a x2- x1ln x2 x1 - 2(x2- x1) x1+ x2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =. a x2- x1ln x2 x1 - 2( x2 x1 - 1) 1 + x2 x1 当 01, x2 x1 且 G(x0)=. a x2- x1lnt - 2(t - 1) 1 + t 设 u(t)=lnt-(t1), 2(t - 1) 1
7、 + t 则 u(t)= -=0, 1 t 4 (1 + t)2 (1 - t)2 t(1 + t)2 则 u(t)=lnt-在(1,+)上为增函数, 2(t - 1) 1 + t 而 u(1)=0,所以 u(t)0,即 lnt-0. 2(t - 1) 1 + t 又因为 a0,x2-x10,所以 G(x0)0. 当 00. 综上所述,G(x0)的符号为正. 【方法归纳】 本题涉及两个变量 x1,x2,在解题时利用换元法简化过程,然后构造函数,再利用导数法,结合函数单 调性进行符号的判断.本题把式子 看成一个整体,用变量 t 去代替它,从而达到化二元为一元的目的,同 x2 x1 时使本来零乱、
8、分散的问题得到简化.这种技巧在解题时非常重要,需要灵活运用. 跟踪集训 11.若 f(lnx)=3x+4,则 f(x)的表达式为 . 12.已知函数 f(x)=4x,g(x)=2x,则方程 f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)= 的解为 . 22 9 13.y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值是 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 技法六 构造法 用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是 建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比 已学过的知识及各种数学结构、数学
9、模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造 几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题. 典型例题 例 6 在四面体 ABCD 中,若 AB=CD=,AC=BD=5,AD=BC=2,则该四面体的体积 V= . 135 答案 8 解析 构造如图所示的长方体,并且满足 AB=CD=,AC=BD=5,AD=BC=2.135 设 AP=p,AQ=q,AR=r, 则 p2+q2=AB2=13,r2+p2=AD2=20,q2+r2=AC2=25. 由上述三式得 p2+q2+r2=29,于是 r=4,q=3,p=2. 故 V=V长方体-4VC-AQB=234-4 4 23=8. 1 3 1
10、 2 【方法归纳】 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的 方向.一般通过构造新的函数、不等式或数列等模型将问题转化为熟悉的问题.在立体几何中,补形构造 是最常用的解题技巧.通过补形可以将一般几何体的有关问题放在特殊的几何体中求解,如将三棱锥补 成长方体等. 跟踪集训 14.设函数 f(x)=lnx+ ,mR,若对任意 ba0,0,则实数 p 的取值范围是 . 答案 (- 3, 3 2) 解析 若 f(x)在-1,1上不存在使 f(c)0 的数 c,则 f(x)在-1,1内小于等于 0,又 =36p20, 故 f(-1)0 且 f(1)0,因此若
11、要满足题意,则只需 f(-1)0 或 f(1)0 即可,由 f(1)0,得 2p2+3p-90,得 2p2-p-10,这个问题似乎无从 下手,困难较大.若用逆向思维利用补集思想求解,则很直观简捷.跟踪集训 16.已知集合 A=x|x2-4mx+2m+6=0,B=x|x成立, ex(3x - 2) x - 2 因为 F=9 最小,且 F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当 a5e4时,至少有两个整数成立,( 8 3) e 8 3 所以当 a7e3时,没有整数成立,所以 a(7e3,5e4, 综上,a(7e3,5e4. 5 3e,1) 【方法归纳】 对于求不等式成立时参数范围的问题,在可能的情
12、况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数 的不等式,另一端是一个区间上的具体的函数.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出 的函数解析式较为复杂,性质很难研究,那么就不要使用分离参数法. 跟踪集训 17.若不等式 2xlnx-x2+ax-3 恒成立,则实数 a 的取值范围为 . 18.已知函数 f(x)= x3-x2-3x+ ,直线 l:9x+2y+c=0,当 x-2,2时,函数 f(x)的图象恒在直线 l 下方,则 1 3 4 3 c 的取值范围是 . 技法九 整体代换法 整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将多个数之和的表达式或多项式当成一个 整体来处理,从而建
13、立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐 的计算.该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算. 典型例题 例 9 在等比数列an中,公比 q=2,前 87 项和 S87=140,则 a3+a6+a9+a87= . 答案 80 解析 设 b1=a1+a4+a7+a85,b2=a2+a5+a8+a86,b3=a3+a6+a9+a87, 因为 b1q=b2,b2q=b3,且 b1+b2+b3=140, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 b1(1+q+q2)=140,而 1+q+q2=7, 所以 b1=20,则 b3=q2b1=420=80. 【
14、方法归纳】 整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系. 跟踪集训 19.设等差数列an的前n项和为Sn,若a2a4a6a8=120,且+= ,则S9的值为 . 1 a4a6a8 1 a2a6a8 1 a2a4a8 1 a2a4a6 7 60 20.在正项等比数列an中,a4+a3-2a2-2a1=6,则 a5+a6的最小值为 . 技法十 判别式法 判别式法就是利用一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有解的充要条件(判别式 =b2-4ac0)求解. 典型例题 例 10 已知 , 为任意三角形的三个内角,求证: x2+y2+z22xycos+2yzcos+2z
15、xcos. 证明 设 f(x)=x2+y2+z2-(2xycos+2yzcos+2zxcos) =x2-2(ycos+zcos)x+y2+z2-2yzcos, 又 =4(ycos+zcos)2-4(y2+z2-2yzcos) =-4(ysin-zsin)20, 所以 f(x)0,即 x2+y2+z22xycos+2yzcos+2zxcos. 【方法归纳】 判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具,是不等式之间相互转化的重要桥梁,运用判别式 法证明不等式有两种途径:(1)构造一元二次方程,然后利用 0 来证明;(2)构造恒大于(或小于)零的 一元二次函数,然后利用 0 来证明. 高清试卷 下
16、载可打印 高清试卷 下载可打印 跟踪集训 21.函数 y=的值域为 . 2x2+ 4x - 7 x2+ 2x + 3 22.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0,则 d 的取值范围 是 . 23.给定两个长度为 1 的平面向量和,它们的夹角为 120.如图所示,点 C 在以 O 为圆心的 上运动,OAOB AB 若=x+y,其中 x,yR,则 x+y 的最大值是 . OCOAOB 技法十一 归纳法 归纳法的过程可概括为 从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出结论 发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 典型
17、例题 例 11 (2018 江苏沭阳调研)观察下列式子:1+ 0 时,|lnx|=kx+2k=- = |lnx| x 2 x - lnx - 2 x ,0 b0), x2 a2 y2 b2 =(-2,b),=(-2,-b),MB1MB2 ,=0,解得 b2=4,MB1MB2MB1MB2 又 e=,解得 a2=9, a2- b2 a 1 - b2 a2 5 3 故椭圆的标准方程为 + =1. x2 9 y2 4 (2)是. 假设存在满足条件的定点 P,其坐标为(t,0),由题意可设直线 AB 的方程为 x=my+2,代入 + =1, x2 9 y2 4 整理得(4m2+9)y2+16my-20=
18、0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1+y2=,y1y2=-. - 16m 4m2+ 9 20 4m2+ 9 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 PA,PB 所在直线斜率分别为 kPA=,kPB=, y1 x1- t y2 x2- t kPA+kPB=0y1(x2-t)+y2(x1-t)=02my1y2+(2-t)(y1+y2)=0-40m-16m(2-t)=0. 上式对任意 mR 恒成立,其充要条件为-40m-16m(2-t)=0,解得 t= . 9 2 故存在满足条件的定点 P,其坐标为.( 9 2,0) 技法五 换元法 跟踪集训 11.答案 f(x)=3ex+4
19、 解析 令 lnx=t,则 x=et,f(t)=3et+4,即 f(x)=3ex+4. 12.答案 x=log23 或 x=log2 1 3 解析 由f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)= ,得4x+4-x-2(2x+2-x)= ,令t=2x+2-x,则4x+4-x=t2-2,故原方程可化 22 9 22 9 为 9t2-18t-40=0,解得 t= 或 t=- (舍去),则 2x+2-x= ,即 2x+ = , 10 3 4 3 10 3 1 2x 10 3 解得 2x=3 或 2x= ,所以 x=log23 或 x=log2. 1 3 1 3 13.答案 + 1 2 2 解析 设
20、 sinx+cosx=t,则 t-,则 y= +t- = (t+1)2-1,当 t=时,y 取最大值,ymax= +.22 t2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 技法六 构造法 跟踪集训 14.答案 1 4, + ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 对于任意的 ba0,0),则 h(b)0),所以 m ,即实数 m 的取值范围为.(x - 1 2) 2 1 4 1 4 1 4, + ) 15.答案 4, 1 4 解析 构造平面向量的数量积.由函数解析式可得 a0,a1, f(x)=,令 m=(x,),n=(,x),则|m|=1,|n|=,设 m,n 的夹角是 xa - x
21、2+ x1 - x2 a - 1 1 - x2a - x2 a ,0,则 x+x=mn=cos-,当 01 时,f(x)min=-=- ,解得 a=4,适合,故 a 的值为 4 或 . 1 4 a a - 1 2 3 1 4 技法七 逆向思维法 跟踪集训 16.答案 (-,-1 解析 若 AB=,则 当 A=时,有 =(-4m)2-4(2m+6)-1, 故所求实数 m 的取值范围为(-,-1. 技法八 分离参数法 跟踪集训 17.答案 (-,4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 已知条件可转化为 a2lnx+x+ 恒成立. 3 x 设 f(x)=2lnx+x+ , 3 x 则
22、f(x)=(x0). (x + 3)(x - 1) x2 当 x(0,1)时,f(x)0,函数 f(x)单调递增, 所以 f(x)min=f(1)=4,所以 a4. 18.答案 (-,-6) 解析 根据题意知 x3-x2-3x+ x3-x2+ x+ , 1 3 4 3 9 2 c 2 c 2 1 3 3 2 4 3 设 g(x)= x3-x2+ x+ ,则 g(x)=x2-2x+ , 1 3 3 2 4 3 3 2 因为 g(x)0 恒成立,所以 g(x)在-2,2上单调递增, 所以 g(x)max=g(2)=3,则 c0,则 a4+a3-2a2-2a1=(a2+a1)(q2-2)=6, 则
23、a2+a1=0,q20, 6 q2- 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 a5+a6=(a2+a1)q4=6(q2-2)+2412+24=48,当且仅当 q=2 时取等号,故 a5+a6 6q4 q2- 2 24 q2- 2 (q2- 2) 4 q2- 2 的最小值是 48. 技法十 判别式法 跟踪集训 21.答案 - 9 2,2) 解析 已知函数式可变形为 yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0, 当 y2 时,将上式视为关于 x 的一元二次方程, xR,0,即2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)0, 整理得 2y2+5y-18
24、0,因式分解得 2(y-2)0,解得- y2(也可以依据二次函数 y=2x2+5x-18(y + 9 2) 9 2 在 x 轴下方的图象求解). 当 y=2 时,32+70,不符合题意,应舍去. 故函数的值域为.- 9 2,2) 22.答案 (-,-22,+)22 解析 因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 化简得 2+9da1+10d2+1=0.a21 因为 a1R,所以 =81d2-8(10d2+1)0, 得 d2或 d-2.22 23.答案 2 解析 因为=(x+y)2,所以 x2+y2-xy=1.(*)OC 2 OAOB 高清试卷 下载可打印
25、 高清试卷 下载可打印 记x+y=t,则x=t-y,代入(*),得(t-y)2+y2-(t-y)y=1,化简得3y2-3ty+t2-1=0,因为=(-3t)2-12(t2-1)0, 所以 t24,所以 x+y 的最大值是 2. 技法十一 归纳法 跟踪集训 24.答案 2017 - x ex 解析 f3(x)=f2(x)=fn(x)=(-1)n-1f2017(x)=(-1)2017-1=. 1 ex- (x - 2)ex (ex)2 3 - x ex n - x ex 2017 - x ex 2017 - x ex 25.答案 (1)32n-3 (2)9-9( 2 3) n 解析 (1)由题图知
26、,一级分形图中有3=32-3条线段,二级分形图中有9=322-3条线段,三级分形图中 有 21=323-3 条线段,按此规律得 n 级分形图中的线段条数为 32n-3. (2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 的线段,n 级分形图中第 n 级的(最短的)所 1 3 有线段的长度和为 3(nN*),n 级分形图中所有线段的长度之和为( 2 3) n - 1 3+3+3=3=9-9.( 2 3) 0 ( 2 3) 1 ( 2 3) n - 1 1 -( 2 3) n 1 - 2 3 ( 2 3) n 技法十二 等积转化法 跟踪集训 26.答案 1 6 解析 PA平面 ABCD, PA
27、 是三棱锥 P-CED 的高,PA=2. 四边形 ABCD 是正方形,E 是 AC 的中点, CED 是等腰直角三角形, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 AB=1,CE=ED=, 2 2 SCED= CEED= = . 1 2 1 2 2 2 2 2 1 4 VC-PED=VP-CED= SCEDPA= 2= . 1 3 1 3 1 4 1 6 27.解析 (1)证明:如图,取 EC 的中点 N,连接 MN,BN. 在EDC 中,M,N 分别为 ED,EC 的中点, 所以 MNCD,且 MN= CD. 1 2 又 ABCD,AB= CD, 1 2 所以 MNAB,且 MN=AB.
28、所以四边形 ABNM 为平行四边形,所以 BNAM. 因为 BN平面 BEC,且 AM平面 BEC, 所以 AM平面 BEC. (2)如图,连接 BD. 在正方形 ADEF 中,EDAD, 因为平面 ADEF平面 ABCD,且平面 ADEF平面 ABCD=AD, 所以 ED平面 ABCD,而 BC平面 ABCD,所以 EDBC. 在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=1,CD=2,可得 BC=.2 在BCD 中,BD=BC=,CD=2,2 所以 BD2+BC2=CD2,所以 BCBD. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 DEDB=D,所以 BC平面 EDB. 又 BE平面 EDB,所以 BCBE. 设点 D 到平面 BEC 的距离为 d,由 VD-BEC=VE-BCD, 得 SBECd= SBCDED, 1 3 1 3 即 SBECd=SBCDED. 在EDB 中,BE=,DE2+ DB23 所以 SBEC= BEBC= =, 1 2 1 2 32 6 2 又 SBCD= BDBC= =1, 1 2 1 2 22 所以d=11,得 d=, 6 2 6 3 于是点 D 到平面 BEC 的距离为. 6 3