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1、第一讲 数论初步,-喻鹏举,基本概念,数论是研究数的性质的学科，数论基本上可分为初等数论、解析数论、代数数论等几个较大的分支。,整数的整除性,整除与约数、倍数. 注意负数 a除以非0整数b商为整数，且余数为零。 （我们就说a 能被b整除或说b能整除a，记作b|a） 可整除性的基本性质 若a|b, a|c, 则a|(b+c) 若a|b, 那么对所有整数c, a|bc 若a|b, b|c, 则a|c 整除关系具有传递性.,素数和合数,如果大于1的正整数p仅有的正因子是1和p, 称 p为素数(prime) 大于1又不是素数的正整数称为合数(compound) 如果n是合数, 则n必有一个小于或等于n
2、1/2的素因子,算术基本定理,每个正整数都可以惟一地表示成素数的乘积，其中素数因子从小到大依次出现（这里的“乘积”可以有0个、1个或多个素因子）。 换句话说, 任意正整数n可以写成n=2a1*3a2*5a3*,其中a1,a2,a3等为非负整数 这个定理也叫做惟一分解定理。它是一个定理而不是公理！虽然在大多人看来，它是“显然成立”的，但它的确是需要证明的定理,除法和同余,令a为整数，d为正整数，那么有惟一的整数q和r，其中0rd，使得a=dq+r 可以用这个定理来定义除法：d叫除数，a叫被除数，q叫商，r叫余数。如果两个数a,b除以一个数c的余数相等，说a和b关于模c同余，记作ab(mod c)
3、,最大公约数和最小公倍数,令a和b是不全为0的两个整数，能使d|a和d|b的最大整数称为a和b的最大公约数，用gcd(a,b)表示，或者记为(a,b)。 令a和b是不全为0的两个整数，能使a|d和b|d的最小整数称为a和b的最小公倍数，用lcm(a,b)表示，或者记为a,b 定理: ab = gcd(a,b) * lcm(a,b) 如果gcd（a,b）=1 ,a,b互质,定理的证明,使用惟一分解定理. 设 则有:,容易验证定理成立,求出1 n的全部素数；,法一：Eratosthenes的筛子 2是素数, 删除2*2, 2*3, 2*4, , 2*50 第一个没被删除的是3, 删除3*3, 3*
4、4, 3*5,3*33 第一个没被删除的是5, 删除5*5, 5*6, 5*20 得到素数p时, 需要删除 p*p, p*(p+1), p*n/p, 运算量为n/p-p, 其中p不超过n1/2(想一想, 为什么) 近似公式(Legendre常数B=-1.08366),素数判定,枚举法: O(n1/2), 指数级别 改进的枚举法: O(phi(n1/2)=O(n1/2/logn), 仍然是指数级别 概率算法: Miller-Rabin测试 + Lucas-Lehmer测试 对于奇数n, 记n=2r*s+1, 其中s为奇数 随机选a(1=a=n-1), n通过测试的条件是 as1(mod n),
5、或者 存在0=j=r-1使得a2j*s-1(mod n) 素数对于所有a通过测试, 合数通过测试的概率不超过1/4 只测试a=2, 3, 5, 7, 则2.5*1013以内唯一一个可以通过所有测试的数为3215031751,最大公约数,方法一: 使用惟一分解定理, 先分解素因数, 然后求最大公约数 方法二: (Euclid算法) 利用公式gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), 时间复杂度为O(logb) 方法三: (二进制算法) 若a=b, gcd(a,b)=a, 否则 A和b均为偶数, gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2) A为偶数, b为奇数, gcd(a,b)=gcd(a/2,b) 如果a和b均为奇数, gcd(a,b)=gcd(a-b,b) 不需要除法, 适合大整数,小小动脑,