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1、第五章 积 分,5.1 定积分的概念,1定积分问题的提出,问题一:,曲边梯形面积的计算,设 y = f (x) 0 , x a , b ,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,(1) 分割:,使, a , b 被划分为 n 个子区间 xi-1 , xi ,记 xi-1 , xi 上小曲边梯形的面积为Ai ,Ai,则,(2) 近似:,任取,若记 xi = xi - xi-1 ,则,(3) 精确化:,(1),问题二:,变速直线运动的路程,(1) 分割:,使,记 时间段 ti-1 , ti 内 , 物体行经的路程 Si , 则,(2) 近似:,任取,(3),(3) 精确化:,记,说明:,20 定积分的定义
2、,定义,设 f (x) 在 a , b 上有定义 , 在 (a , b) 内任意,将 a , b 分成 n 个小区间:,如果,则称 f (x) 在 a , b 可积 ,记为 ,a 称为积分下限 ;,b 称为积分上限 ;,f (x)dx 称为被积表达式 ;,x 称为积分变量,说明:,(1) 定积分的几何意义:,如果 y = f (x) 0 , xa , b,曲边梯形的面积:,即,(3) 在上述定义中认为 a b ,对于 a b 的情形:,规定:,对于 b = a 的情形 :,规定:,( 面积为零 ),定理 (定积分存在的必要条件),如果 f (x) 在 a , b上可积 , 则 f (x) 在 a , b 上有界,说明:,a , b上的无界函数是不可积的,定理 (定积分存在的充分条件),说明:,例,利用定义计算定积分,解,由 在 0 , a 上连续 ,将 0 , a 区间 n 等分 ,分点:,取,则有,说明:,定积分可被用来计算“ 和式 ”的极限,若 f (x) 在 a , b 上连续 , 则根据定积分的定义有,(1),解,解,由于,据夹逼定理知,解,记,则,由于,所以,解,设,所以,