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1、第一章 预备知识,4. 格、软代数、布尔代数,1. 集合,3. 关系,2. 映射与代数系统,1. 集合,(2) 集合的特征函数与集合是1-1对应的,集合的 运算可以通过特征函数作等价描述,数学上常 常不区分集合与它的特征函数。,(3) 集合的特征函数是模糊化最重要的手段,大部 分普通概念都是先通过特征函数的描述,直接 用隶属函数来代替特征函数得到对应的模糊概 念。如并、交、余、各种特殊关系、影射的像、 凸集等。,2. 映射与代数系统,映射是描述模糊数学中概念的重要工具。特征 函数、模糊集、t- 模及 t-余模、模糊关系、模 糊量(包括凸模糊量、模糊数)、区间套、闭 区间套等都是映射。,(2)了
2、解单射与满射的概念。,(3)代数系统是集合与运算的组合，引入代数系统 是为了更好地讨论模糊集与模糊关系。,3. 关系,关系本质上是特殊的集合，因而关系有并、 交、余运算，其运算性质与集合相同；关 系有特征函数(特征关系)，从而在有限论域 上有矩阵表示等。同时关系有自己特殊的 运算逆与合成。,(2) 等价关系是最重要的一类关系，可通过等价 类对集合中的元素进行划分(分类)。,4. 格、软代数、布尔代数,(1) 引入这些概念是为了在结构意义下讨论普通集及 模糊集、模糊关系。这些概念之间的关系是： 布尔代数软代数格。,(2) 掌握格的偏序集及代数系统描述法，及两者之间 的联系。,用反证法。,用反证法
3、。,证明:,幂等:,吸收:,类似可证：,结合：,由吸收律：,类似得：,第二章 模糊集基础,1.模糊集概念,模糊集A在本质上是个从X到0,1的映射;,特殊情形：,模糊集只有属于程度,没有属于不属于的概念;,2. 模糊集运算(并、交、余),3.截集与强截集,截集与强截集是普通集；,截集与强截集所展示的性质往往是衡量一个 概念模糊化是否合理的重要依据；,任意的截集或强截集是否相等与模糊集是否 相等是等价的；,掌握截集与强截集的一些基本性质；,4. 分解定理,分解定理是联系模糊集与普通集的重要桥梁；,H为区间套时，A为凸模糊量； H为闭区间套时，A为模糊数,5. t-模与t-余模,t-模与t-余模是构
4、模“且”及“或”的最一般的逻辑 联结，正是由于t-模与t-余模存在才有模糊逻辑 的丰富性；,掌握最大与最小t-模与t-余模以及常见的t-模与 t-余模.,6. 本章掌握下列计算,已知模糊集，求并、交、余；,已知模糊集，求截集与强截集；,已知截集(强截集), 求模糊集；,掌握两类模糊模式识别方法；,记住并能熟练应用一些典型的贴近度 公式(格，海明距离).,证明：,所以，,2. T与S分别是t-模及t-余模,证明:,证明:,解:,总之,解:,6. 证明：,法一：,法二：,第三章 模糊关系,1.模糊关系的概念,模糊关系是特殊模糊集, 所以模糊集的一些 概念在模糊关系中也有所体现，对应的性质也完全相同
5、. 例如: 运算(并、交、余)、截集与强截集（截关系与强截关系）。,2. 模糊关系的合成,合成运算是模糊关系特有的最重要的运算， 在模糊关系理论及应用中举足轻重。,要求掌握合成运算的性质。,3. 特殊模糊关系:,模糊自反、对称、传递、相似、等价关系,掌握与这些关系有关的结论,4. 传递闭包,求传递闭包是改造一个关系使其具有传递性质的重要手段,掌握传递闭包的方法,5. 模糊聚类分析与综合评判,掌握模糊聚类分析与综合评判基本方法,掌握直接聚类法,6. 本章主要计算,求模糊关系(强)截关系并、交、余、逆、合成,求传递闭包(一般关系、论域有限、相似关系）,3.定义并给出一个X上模糊关系R的自反与对称闭
6、包，,解：,并证之。,证明：,另外，,证明：,另外，,5.,证明：,于是，我们有：,第四章 扩展原理与模糊数,1. 扩展原理,扩展原理主要解决求一个或多个普通或模糊集合在一个映射下象的问题.,当所涉及的映射为一元函数时,一元扩展原理用来处理模糊量的函数运算;当所涉及的映射为二元函数时,二元扩展原理用来处理模糊量的代数运算.,掌握扩展后的f(A)及f(A,B)的性质(无论A、B是普通或模糊集).,可达性(充要条件),2. 关于,f连续且A为模糊数(充分条件),f是单射(充分条件),3. 模糊量与凸模糊量,模糊量是实数上的模糊集,在模糊数学中的地位 相当于数在传统数学中的地位,主要用于不精确数 据的量化.,凸模糊量是直线上凸集(区间)的模糊化,是不精确数据的一种规范化描述.,4. 模糊数,模糊数是构模不精确数据的最理想的一类模糊量, 它们具有与数的运算相类似的性质,同时由于其截 集是有限的闭区间而使其代数运算中相对简单.,掌握模糊数的充要条件以及表现定理,掌握模糊数代数运算性质,5. 主要计算,（连续或离散论域）,利用扩展原理求模糊量(模糊数)加、减、乘、除、 取大、取小,计算梯形(三角形)模糊数加、减、乘、除,1.,证明:,3.,证明：,4.,解：,5.,解:,