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1、1,第一节 最小二乘原理 最小二乘原理 等精度测量线性参数的最小二乘原理 不等精度测量线性参数的最小二乘原理 第二节 正规方程 线性参数的最小二乘处理的正规方程 非线性参数的最小二乘处理的正规方程 最小二乘原理和算术平均值原理的关系 第三节 精度估计 测量数据的精度估计 最小二乘估计量的精度估计 第四节 组合测量的最小二乘法处理,第5章 线性参数的最小二乘处理,参数的最可信赖估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归分析,2,最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。这种方法可以妥善解决参数的最可信赖估计、组合测量的数据处理、用实验方法来拟定经验公式以及回归
2、分析等一系列数据处理问题。,在物理实验中，经常遇到已知变量间有密切的关系，但其 具体的函数形式及公式中所用参数的具体数值，则要通过实际测量来确定的情况。 如已知某种电阻其阻值与温度有关，则需要测出一系列不同温度下的阻值，然后对这一组数据用最小二乘法进行相应的处理，得出函数关系中参数的最佳估计值。,3,第一节 最小二乘原理,一、引入,待测量（难以直接测量）：,直接测量量：,问题：如何根据 和测量方程解得待测 量X的估计值 ？,4,直接求得 。,有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求 。,讨论：,最小二乘原理：,最可信赖值应使残余误差平方和最小。,5,二、最小二乘原理,设直接测量量
3、 的估计值为 ， 则有,由此得测量数据 的残余误差,残差方程式,6,若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 分别出现在相应真值附近 区域内的概率为,由概率乘法定理可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为,7,测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值 出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有,最小,由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表 示为,最小,8,等精度测量的最小二乘原理：,最小,不等精度测量的最小二乘原理：,最小,最小二乘原理（其他分布也适用）：,测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。,最小,9,三、等精度测量的线性参
4、数最小二乘原理,线性参数的测量方程和相应的估计量为：,残差方程为,10,令,则残差方程的矩阵表达式为,残差方程为,11,令,则残差方程的矩阵表达式为,等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：,最小,12,不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：,思路一：,权矩阵,四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理,等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：,13,思路二：不等精度 等精度,则有：,思路一：,14,第二节 正规方程,正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的 有确定解的代数方程组,一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程,15,16,用高斯符号表示有：,则可得：,同理有：,17,等精度测量的线性参数最小
5、二乘法处理的正规方程 t 元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定的解，由此可解得待求的估计量。,因而,估计量方程可最终写成,18,对于线性参数的正规方程，利用矩阵处理比较方便。 现将正规方程组中第 r 个方程展开：,19,正规方程组可写成：,写为矩阵形式为：,即：,这就是等精度测量情况下以矩阵形式表示的正规方程。,20,将 代入到 中，得,（待测量的无偏估计）,21,若A的秩等于 t，那么 必定有唯一的解：,所解得 的数学期望为：,由此可见， 是 的无偏估计。,其中假定：,无系统误差存在,逆矩阵存在,22,例5.1：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系： ，为获得时铜棒的长度 和铜的
6、线膨胀系数 ，现测得不同温度下铜 棒的长度，如下表，求 ， 的最可信赖值。,解：,1）列出误差方程,令 为两个待估参量，则误差方程为,23,按照最小二乘的矩阵形式计算,则有：,那么：,24,二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规 方程,由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的 正规方程：,25,整理得：,26,即,不等精度的正规方程,将 代入上式，得,（待测量的无偏估计）,27,例 5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差：,试求 的最可信赖值。,解：首先确定各式的权,28,令,29,三、非线性参数最小二乘处理的正规方程,针对非线性函数,其测量误差方程为,令 ，现将函数在 处展开，则有,30,将上述展开式代入误差方程，令,则误差方程转化为线性方程组,于是可解得 ，进而可得 。,近似值,31,为获得函数的展开式，必须首先确定,1）直接测量,2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的t个方程式，如令 ，由此可解得 。,32,按照最小二乘原理可求得,结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的， 算术平均值原理是最小二乘原理的特例。,四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系,为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直 接测量，得n个数据 ，相应的权分别为,，则测量的误差方程为,