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1、第五节 全概率公式与 Bayes ( 贝叶斯) 公式,1. 样本空间 S 的划分 ( 或完备事件组 ),样本空间也可以被划分成无穷多个随机事件的和,定义1.5.2 如果随机事件A1，A2，An 满足： (1) AiAj = , 对所有的 i j ； (2) A1A2An = S . 则称 A1，A2，An 是样本空间 S 的一个划分。,思考 A B、B A、AB、 构成 S 的一个划分。,2. 全概率公式,假定随机事件组 A1，An 是样本空间 S 的一个划分，B 是任意的一个随机事件，则：,P (B ) = kn= 1 P (Ak ) P (B | Ak ),全概率公式,这公式也适用于对样本
2、空间的无穷划分,例1，某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如图： 根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4 ，中国胜日本的概率为0.9，而日本胜美国的概率为0.5，求中国得冠军的概率。,解：令H= 日本胜美国,=美国胜日本,A= 中国得冠军;,=0.5*0.9+0.5*0.4=0.65,例2， 盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中，第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率.,由全概率公式便得所求的概率为,解： 令 Hi =第一次比赛时取出的3个球中有i个新球,i=0，1，2，3，A = 第二次比赛取出的3个球均为新球,P (A ) =
3、i3= 0 P (Hi) P (A | Hi ),于是有:,=0.146,某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .,诸Ai是原因 B是结果,例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率
4、分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),则 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,依题意， P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1,可求得:,为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,将数据代入计算得: P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P
5、(A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得
6、红球,求P(A1|B),运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,3. 贝叶斯公式,对任意的 m 1，有：,贝叶斯公式,假定随机事件组 A1，An 是样本空间 S 的一个划分，B 是任意的一个随机事件，则：,这公式也适用于对样本空间的无穷划分,例3：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？,解：令H= 做实验的人为癌症患者 ,=做实验的人不为癌症患者 ,A= 实验结果反应为阳性 ;
7、,由全概率公式便得所求的概率为,=0.087,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)= 0.1066,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌
8、症)，此时医生常要通过再试验来确认.,全概率公式,贝叶斯公式,若干原因,结果,如果把随机事件 B 看成是结果，随机事件组 A1，An 看成可能导致结果 B 发生的若干原因，,贝叶斯公式在决策理论中有重要应用： 不断地根据新得到的信息来修正原来的观点。,例4 产品使用的元件由三个工厂提供，数据如下：,厂家 次品率 所占份额 甲厂 0.02 0.15 乙厂 0.01 0.80 丙厂 0.03 0.05,(1) 随机从仓库取一件，求取到次品的概率； (2) 如果取到次品，最可能是来自哪个工厂的产品？ 最不可能的又是哪个工厂的？,解. 以 A、B、C 分别表示取到的这个元件来自工厂 甲、乙、丙，D 表
9、示这个元件是次品。因此已知： P (A ) = 0.15, P (B ) = 0.8, P (C ) = 0.05 ; P (D | A ) = 0.02, P (D | B ) = 0.01,P (D | C ) = 0.03 .,(2) 根据 Bayes 公式， P ( A | D ) = = = 0.24 ，,同理，P (B | D ) = 0.64 ，P (C | D ) = 0.12 。 这个次品最有可能是乙厂，最不可能是丙厂的。,(1) 根据全概率公式， P (D ) = P (A ) P (D | A ) + P (B ) P (D | B ) + P (C ) P (D | C
10、 ) = 0.150.02 + 0.80.01 + 0.050.03 = 0.0125 ；,需要求出 P (D ) ，以及比较三个条件概率： P (A | D )，P (B | D )，P (C | D ) 的大小。,P (A ) P (D | A ) 0.150.02 P (D ) 0.0125,“先验概率” 与 “后验概率”,先验概率：过去经验或知识,后验概率：有新的信息以后对过去认识的修正,思考: 说明这里为什么 3 个条件概率的和等于 1 。,厂家 次品率 所占份额 条件概率 甲厂 0.02 0.15 0.24 乙厂 0.01 0.80 0.64 丙厂 0.03 0.05 0.12,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,习题1：两信息分别编码为X和Y传送出去，接收站接收时，X被误收作为Y的概率0.02,而Y被误作为X的概率为0.01.信息X与Y传送的频繁程度之比为2:1,若接收站收到的信息为X，问原发信息也是X的概率为多少?,