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1、读教材填要点,贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有(1x)n .,1nx,小问题大思维,在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？ 提示：可以但是贝努利不等式的体现形式有所变化事实上：当把正整数n改成实数后，将有以下几种情况出现： (1)当是实数，并且满足1或者1) (2)当是实数，并且满足01),研一题,悟一法,通一类,研一题,精讲详析 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明 (1)当n1,2时，PnQn. (2)当n3时，(以下再对x进行分类) 若x(0，)，显然有PnQn.
2、 若x0，则PnQn.,若x(1,0)， 则P3Q3x30， 所以P3Q3. P4Q44x3x4x3(4x)0， 所以P4Q4. 假设PkQk(k3)， 则Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk,悟一法,(1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立 (2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用,通一类,2已知数列an，bn与函数f(x)，g(x)，xR，满足条件： b1b，anf(bn)g(bn1)
3、(nN*)若函数yf(x)为R上的增函数，g(x)f1(x)，b1，f(1)1，证明：对任意nN*，an1an. 证明：因为g(x)f1(x)， 所以ang(bn1)f1(bn1)， 即bn1f(an) 下面用数学归纳法证明an1an(nN*),(1)当n1时，由f(x)为增函数，且f(1)1，得 a1f(b1)f(1)1， b2f(a1)f(1)1， a2f(b2)f(1)a1， 即a2a1，结论成立 (2)假设nk时结论成立，即ak1ak. 由f(x)为增函数，得f(ak1)f(ak)即bk2bk1， 进而得f(bk2)f(bk1)即ak2ak1. 这就是说当nk1时，结论也成立 根据(1
4、)和(2)可知，对任意的nN*，an1an.,研一题,精讲详析 本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法解答本题需要根据n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明,悟一法,利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论， 然后用数学归纳法证明这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时,通一类,解：猜想当t3时，对一切正整数n使3nn2成立下面用数学归纳法进行证明 当n1时，313112，命题成立 假设nk(k1，kN)时，3kk2成立，,则有3kk21. 对nk1,3k133k3k23k k22(k21)3k21. (3k21)(k1)2 2k22k2k(k1)0， 3k1(k1)2， 对nk1，命题成立 由上知，当t3时，对一切nN，命题都成立,本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考查数学归纳法的应用.2012年全国卷将数列、数学归纳法与直线方程相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点,考题印证,(2012大纲全国卷)函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标 (1)证明：2xnxn13； (2)求数列xn的通项公式 命题立意 本题考查数学归纳法证明不等式问题，考查学生推理论证的能力,点击下图片进入:,