《第十一章第四课时.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十一章第四课时.ppt（35页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第十一章 概率与统计,第四课时 几何概型,知识梳理,一、几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则这样的概率模型叫做几何概型也就是说：事件A为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何概型 二、在几何概型中，事件A发生的概率的计算公式,P(A),其中表示区域的几何度量，A表示子区域A的几何度量 三、均匀随机数 均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量(如概率值
2、、常数)有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量,基础自测,1(2009年山东卷)在区间 上随机取一个数x，cos x的值介于0到 之间的概率为( ) A. B. C. D.,解析：在区间 上随机取一个数x，即 x 时，要使cos x的值介于0到之间，需使 x 或 x ，区间长度为 ，由几何概型知cos x的值介于0到 之间的概率为 .故选A. 答案：A,2在长为18 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( ) A. B. C. D.,解析：M只能在中间6 cm9 cm之间选取，而这是一个几何概型
3、答案：D,3向面积为S的ABC内任投一点P，则随机事件“PBC的面积小于 ”的概率为_ .,解析：作ABC的边BC上的高AD，取EAD且ED AD，过E作直线MNBC分别交AB于M，AC于N，则当P落在梯形BCNM内时，PBC的面积小于ABC的面积的 ，故P 答案：,4在圆心角为150的扇形AOB中，过圆心O作射线 交 于P，则同时满足：AOP45且BOP75的概率为_ .,解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150457530， 答案：,平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率 思路分析：本题考查的几何概型
4、，而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关,解析：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如右图所示，这样线段OM长度(记作OM)的取值范围就是0，a，只有当rOMa时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是 P(A),点评：本题是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关，属于几何概型,变式探究,1两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m的概率,解析：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A， 则P(A),某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各
5、站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率 思路分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件,解析：设A等待的时间不多于10分钟，我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于50,60这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P(A) ，即此人等车时间不多于10分钟的概率为
6、.,点评：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从0,60上的均匀分布，X为0,60上的均匀随机数,变式探究,2已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，求乘客到达站台立即乘上车的概率,解析：由几何概型知，所求事件A的概率为P(A),设有关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率 解析：设事件A为“方程a22axb20有实根” 当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab. 试验的全部结果所构成的区域为 (a，b)|0a3,0b2 构成事
7、件A的区域为 所以所求的概率为,3(2011年长沙模拟)如右图，分别以正方形的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( ) A. B. C. D.,B,变式探究,4(2010年福州调研)方程x2xn0(n(0,1)有实根的概率为( ) A. B. C. D.,C,在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？ 思路分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率 解
8、析：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则 P(A) 0.01. 答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.,变式探究,5(2010年广州一模)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( ) A. B1 C. D1,B,在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM的长小于AC的长的概率,解析：依题意，应视作射线CM在ACB内是等可能分布的，在AB上截取ACAC，则ACC67.5， 于是P(AMAC),变式探究,
9、6设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，求弦长超过半径的 倍的概率,解析：连结圆心O与A点，作弦AB使AOB120，这样的点B有两点，分别记为B1与B2，仅当P在劣弧 上取点时，AP OA，此时B1OB2120， 故所求的概率为,教师用书备选题 甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率,解析：以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是 15.在平面上建立直角坐标系如图，则(x，y)的所有基本事件可以看作是边长为60的正方,形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示这是一个几何概型问题，
10、由几何概型的概率公式得,P(两人能会面) ,答：两人能会面的概率为 . 点评：(1)甲、乙两人都是在67时内的任意时刻到达会面地点，故每一对结果对应两个时间，分别用x，y轴上的数表示则每一个结果(x，y)就对应于图中正方形内的任一点 (2)找出事件A发生的条件，并把它在图中的区域找出来，分别计算面积即可 (3)本题的难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题,7从甲地到乙地有一班车在930到1000到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘945到1015出发的汽车到丙地，问他能赶上车的概率是多少
11、？ 解析：在坐标系中x轴表示班车到达的时间，y轴表示汽车从乙地出发的时间，xy是能赶上班车的事件区域，设他能赶上车为事件A P(A) 0.875. 他能赶上车的概率是0.875.,1几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型 2使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件的几何图形的几何度量(长度、面积或体积)成比例；几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的概率题目 3用几何概型计算事件的概率时，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用几何图形的几何度量(长度、面积或体积)来求随机事件的概率,
12、4均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验,1(2010年湖南卷)在区间1,2上随机取一个数x，则x0,1的概率为_,解析：P(0x1) 答案：,2(2010年福建卷)如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EHA1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.设AB2AA12a.在,长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EFa时，求p的最小值(节选),解析：设BCb，则长方体ABCDA1B1C1D1的体积 VABADAA12a2b. 几何体EB1FHC1G的体积 V1 B1C1 EB1B1F. EBB1F2a2. EB1B1F 当且仅当EB1B1F a时等号成立 从而，V1,故p1 当且仅当EB1B1F a时等号成立， 所以，p的最小值等于 .,祝,您,学业有成,