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1、第7章 MATLAB解方程与函数极值 7.1 线性方程组求解 7.2 非线性方程数值求解 7.3 常微分方程初值问题的数值解法 7.4 函数极值,7.1 线性方程组求解 7.1.1 直接解法 1利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“”求解： x=Ab,例7-1 用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; x=Ab,2利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Chol
2、esky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。,(1) LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为： L,U=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须是方阵。 L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=
3、U(Lb)或x=U(LP*b)，这样可以大大提高运算速度。,例7-2 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; L,U=lu(A) x=U(Lb) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： L,U ,P=lu(A) x=U(LP*b),(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为： Q,R=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使
4、之满足X=QR。 Q,R,E=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R(Qb)或x=E*(R(Qb)。,例7-3 用QR分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; Q,R=qr(A) x=R(Qb) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下： Q,R,E=qr(A); x=E*(R(Qb),(3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和
5、上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即X=RR。MATLAB函数chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为： R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使RR=X。若X为非对称正定，则输出一个出错信息。 R,p=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足RR=X(1:q,1:q)。 实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成RRx=b，所以x=R(Rb)。,例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的
6、线性方程组。 命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; R=chol(A) ? Error using = chol Matrix must be positive definite 命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。,7.1.2 迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。 1Jacobi迭代法 对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii0(i=1,2,n)，则可将A分解为A=D
7、-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为： x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为： x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 这就是Jacobi迭代公式。如果序列x(k+1)收敛于x，则x必是方程Ax=b的解。,Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下： function y,n=jacobi(A,b,x0,eps) if nargin=3 eps=1.0e-6; elseif nargin=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end,例7-5 用Jacobi迭代法求解下列线
8、性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。 在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下： A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10; b=9,7,6; x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6),2Gauss-Serdel迭代法 在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到： x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分
9、量代替旧分量，精度会高些。,Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下： function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps) if nargin=3 eps=1.0e-6; elseif nargin=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end,例7-6 用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。 在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下： A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10; b=9,7,6; x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.
10、0e-6),例7-7 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组，看是否收敛。 命令如下： a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1; b=9;7;6; x,n=jacobi(a,b,0;0;0) x,n=gauseidel(a,b,0;0;0),判断收敛的充要条件：迭代矩阵的谱半径要小于1. 准则1：A对角占优，则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收敛. 准则2：Jacobi迭代矩阵的无穷范数小于1，则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收敛. 准则3：A是对称正定阵，则Gauss-Seidel迭代收敛. 准则4：A是对称正定阵，2D-
11、A也为对称正定阵，则Jacobi迭代收敛 如果都不满足，那就发散,7.2 非线性方程数值求解 7.2.1 单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为： z=fzero(fname,x0,tol,trace) 其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0。,例7-8 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的
12、根。 步骤如下： (1) 建立函数文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.x+2; (2) 调用fzero函数求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.3758,7.2.2 非线性方程组的求解 对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解。fsolve函数的调用格式为： X=fsolve(fun,X0,option) 其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改
13、变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中off为不显示，iter表示每步都显示，final只显示最终结果。optimset(Display,off)将设定Display选项为off。,例7-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。 (1) 建立函数文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=
14、0.5下，调用fsolve函数求方程的根。 x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off) x = 0.6354 0.3734,将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下： q=myfun(x) q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。,7.3 常微分方程初值问题的数值解法 在讲常微分方程初值问题之前，前回顾微分方程。,定义：含有导数的方程称为微分方程。如 f(x, y(x), y(x)=0,微分方程模型,1、微分方程的一般形式：,F(x, y, y,y(n) ) = 0 隐式 或 y(n) = f
15、 (x, y, y,y (n-1) ) 显式,特殊情形：,2、一阶微分方程组的一般形式：,初始条件：y(x0) = y0,微分方程模型, 图形解,返 回, 解析解 y = f(x), 数值解 (xi, yi),欧拉方法,改进欧拉方法,梯形法,龙格-库塔法,微分方程求解方法简介,“常微分方程初值问题数值解”的提法,不求解析解 y = y(x) (无解析解或求解困难),而在一系列离散点,通常取等步长h,微分方程数值解,7.3 常微分方程初值问题的数值解法 7.3.1 龙格库塔法简介 在常微分方程的求解问题中，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。 在数
16、值分析中，龙格库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔龙格和马丁威尔海姆库塔于1900年左右发明。,龙格一库塔法源自于相应的泰勒级数方法，在每一插值节点用泰勒级数展开，其截断误差阶数也是O(hn )，根据O(hn )可省略更高阶的导数计算，这种方法可构造任意阶数的龙格一库塔法。 其中4阶龙格一库塔法是最常用的一种方法。因为它相当精确、稳定、容易编程。一般不必使用高阶方法，因为附加的计算误差可由增加精度来弥补。如果需要较高的精度，可采取减小步长的方法即可。4阶龙格一库塔法的精度类似4阶泰勒级数法的精度。 龙格一库塔法具有精度高，收
17、敛，稳定(在一定的条件下)，计算过程中可以改变步长，不需要计算高阶导数值等优点但仍需计算在一些点上的值，如四阶龙格库塔法每计算一步需要算四次的值。,这样，下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均： k1是时间段开始时的斜率； k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值； k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值； k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。,7.3.2 龙格库塔法的实现 基于龙格库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为： t,y=ode23
18、(fname,tspan,y0) t,y=ode45(fname,tspan,y0) 其中fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为t0,tf,表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。,例7-10 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较(精确解为y(t)=)。 (1) 建立函数文件funt.m。 function yp=funt(t,y) yp=(y2-t-2)/4/(t+1); (2) 求解微分方程。 t0=0;tf=10; y0=2; t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求数值解 y1
19、=sqrt(t+1)+1; %求精确解 t y y1 y为数值解，y1为精确值，显然两者近似。,7.4 函数极值 MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数fmin和fmins，它们分别用于单变量函数和多变量函数的最小值，其调用格式为： x=fmin(fname,x1,x2) x=fmins(fname,x0) 这两个函数的调用格式相似。其中fmin函数用于求单变量函数的最小值点。fname是被最小化的目标函数名，x1和x2限定自变量的取值范围。fmins函数用于求多变量函数的最小值点，x0是求解的初始值向量。,7.0中的求函数极值的函数是fminsearch 用法： 最小值点，最小值=fminsearch(函数，初值),MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fmin(-f,x1,x2)返回函数f(x)在区间(x1,x2)上的最大值。,例7-11 求f(x)=x3-2x-5在0,5内的最小值点。 (1) 建立函数文件mymin.m。 function fx=mymin(x) fx=x.3-2*x-5; (2) 调用fmin函数求最小值点。 x=fmin(mymin,0,5) x= 0.8165,