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1、第八讲 留数,1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系,5.1 孤立奇点,1. 定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未 必是孤立的。,2. 分类,以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：,特点：,没有负幂次项,特点：,只有有限多个负幂次项,特点：,有无穷多个负幂次项,定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内， 若f (z)的洛朗级数,没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;,只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级极点
2、;,有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。,3. 性质,若z0为f (z)的可去奇点,若z0为f (z)的m (m 1) 级极点,例如：,z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。,若z0为f (z)的本性奇点,总结：孤立奇点类型判断方法：,根据洛朗级数中 负幂项个数判断： 不含 负幂项 - 为可去奇点； 只含有限个 负幂项 - 极点； 含无穷个 负幂项 - 本性奇点,根据函数在奇点处极限取值判断： 存在且有限 - 为可去奇点； - 极点； 不存在且不为无穷大 - 本性奇点,4. 零点与极点的关系,定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成,例如：,定理,事实
3、上，,必要性得证！,充分性略！,例如,定理:,证明,“” 若z0为f (z)的m 级极点,5. 函数在无穷远点的性态,推广到扩充复平面，讨论无穷远点的性态：,定义 如果函数f (z)在无穷远点 的去心 邻域 内解析，那么称 为f (z)的 孤立奇点。,研究方法：,作变换： ，并且规定，该变换把扩充z平面上 的去心邻域 映射成扩充t平面上原 点的去心邻域 。,则：,这样，把在去心邻域 内对函数 f (z)的研究转化为 在去心邻域 内对函数 的研究。,函数 在去心邻域 是解析的，所以t =0是 的孤立奇点。,规定：如果t =0是 的可去奇点，m级极点或本性奇点 那么， 是f (z)的可去奇点，m级
4、极点或本性奇点。,则,（ 式）,t 式不含负幂项，有限负幂项和无穷负幂项时，t =0分别是 的可去奇点，m级极点和本性奇点。,按照前面的规定，以及(t 式)和( 式)之间的倒数关系可知：,如果在( 式)中不含正幂项，有限正幂项和无穷正幂项 那么， 是f (z)的可去奇点，极点和本性奇点。,问题：无穷大 是不是函数的孤立奇点？,例1： 是sin z的本性奇点,例2： 是 的一级极点,判决方法：求倒数 ，判决t =0是不是孤立奇点,例,解 显然，z=i 是(1+z2)的一级零点,综合,1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则,5.2 留数(Residue),1. 留数的定义,定义 设
5、 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数 c1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res f (z), z0 或 Res f (z0)。,由留数定义, Res f (z), z0= c1 (1),2. 留数定理,定理,证明,由复合闭路定理得：,用2i 除上式两边得:,得证！,求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立 奇点的留数。,一般求 Res f (z), z0 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内 展开成洛朗级数求系数 c1 的方法, 但如果能先知道 奇点的类型，对求留数更为有利。,以下就三类孤立奇点进行讨论：,
6、3. 留数的计算规则,规则I,规则II,事实上，由条件,当m=1时，式(5)即为式(4).,规则III,事实上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故 由留数定理得：,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。,如,是f (z)的三级极点。,-该方法较规则II更简单！,(2) 由规则II 的推导过程知，在使用规则II 时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更 简单。,如,函数在无穷远点的性态,无穷远点的留数,留数定理,留数计算规则IV,根据留数定理得：,作 业,P183 1（1）（4）（7） 6 8（2）（4）（6）（8） 9（1）（2）（5） 12 13 （1）（3）（5）,