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1、,三、随机变量的数字特征,三 随机变量的数字特征,1、数学期望,(1) 数学期望定义,例 2,（2）旅客8：20分到达,X的分布率为,(2）数学期望的性质,若x , y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y),(3）随机变量函数的数学期望,设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,当X为离散型时,P(X= xk)=pk ;,当X为连续型时,X的密度函数为f(x).,某零件的真实长度为a，,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,2 方差,现用甲、乙两台仪器,各测量10次，将测量结果,X用数轴上的点表示如图：,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因
2、为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,其落点,距目标的位置如图：,设X是一个随机变量，若EX-E(X)2，,EX-E(X)2 ,为X的方差.,则称,(1）方差的定义,D(X)=,若X的取值比较分散，则方差,若X的取值比较集中，则方差,较小；,较大 .,称 为X标准差.,X为离散型， PX=xk=pk,X为连续型， Xf(x),D(X)=EX-E(X)2,简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2),=E(X2)-E(X)2,利用期望 性质,-2E(X)2,+E(X)2,证：,例3.要在甲乙两射手之间选送一个人去参加
3、奥运会，,送谁去参加奥运会更合理呢？,已知两人的射击成绩的分布律分别为：,首先评选的指标是平均成绩,评选的第二个指标是方差,送甲去参加奥运会更合理。,D(X)=EX-E(X)2,1)设C是常数,则D(C)=,2)若C是常数,则D(CX)=,3) 若X1与X2 独立，则,可推广为：若X1,X2,Xn相互独立,则,D(X1+X2)=,D(X1)+D(X2);,C2 D(X);,0;,(2）方差的性质,两点分布,二项分布,泊松分布,离散型,3 常见分布的数学期望和方差,若X服从,若X服从参数为,连续型,若XUa,b,即X服从a,b上的均匀分布,则,例5 设随机变量X和Y相互独立且XN(1,2),解: XN(1,2),YN(0,1)，且X与Y独立,D(Z)=,E(Z)=,故 ZN(E(Z), D(Z),ZN(5, 32),2E(X)-E(Y)+3,=2+3,=5,4D(X)+D(Y),=8+1,=9,YN(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.,故Z的概率密度是,