《第矢量分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第矢量分析.ppt（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第1章 矢量分析,一、矢量和标量的定义,二、矢量的运算法则,三、矢量微分元：线元，面元，体元,四、标量场的梯度,六、矢量场的旋度,五、矢量场的散度,七、重要的场论公式,八、亥姆霍兹定理,场的基本概念,1.什么是场？ 重力场、温度场、电磁场、 a.从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。 比如：T 是温度场中的物理量，T 就是温度场 b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。,2.场的分类 a. 按物理量的性质分： 标量场：描述场的物理量是标量。 矢量场：描述场的物理量是矢量。 b. 按场
2、量与时间的关系分： 静态场：场量不随时间发生变化的场。 动态场：场量随时间的变化而变化的场。 动态场也称为时变场。,一、矢量和标量的定义,1.标量：只有大小，没有方向的物理量。,矢量表示为：,所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。,2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、电场 等,如：温度 T、长度 L 等,例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？,图示法：,力的图示法：,二、矢量的运算法则,1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。,a.满足交
3、换律：,b.满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量表示:,其中：,矢量：,模的计算：,单位矢量：,方向角与方向余弦：,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,2.减法：换成加法运算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,3.乘法：,（1）标量与矢量的乘积：,（2）矢量与矢量乘积分两种定义,a. 标量积（点积）：,在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即,有两矢量点积：,结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必
4、正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,b.矢量积（叉积）：,含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,（3）三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量，标量与矢量相乘。,标量，标量三重积。,矢量，矢量三重积。,a. 标量三重积,法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。,定义：,含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。,注意：先后轮换次序
5、。,推论：三个非零矢量共面的条件。,在直角坐标系中：,b.矢量三重积：,例2：,解：,则：,设,例3： 已知,求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。,其中：k 为任意实数。,C,A,B,解：在通过A点和B点的直线方程上， 任取一点C，对于原点的位置 矢量为 ，则,三、矢量微分元：线元、面元、体元,例：,其中： 和 称为微分元。,1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,2. 圆柱坐标系,在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,3. 球坐标系,在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线
6、元：,面元：,体元：,a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：,b. 在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中 为角度， 其对应的线元 ，可见拉梅系数为：,在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为 角度，其拉梅系数为：,注意：,在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元、面元和体元。,体元：,线元：,面元：,正交曲线坐标系：,四、标量场的梯度,1. 标量场的等值面,可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。,以温度场为例：,热源,等温面,b.梯度,定义：标量场中
7、某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。,数学表达式：,2. 标量场的梯度,a.方向导数：,空间变化率，称为方向导数。,为最大的方向导数。,标量场的场函数为,计算：,在直角坐标系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐标系中：,在球坐标系中：,在任意正交曲线坐标系中：,在不同的坐标系中，梯度的计算公式：,在直角坐标系中：,五、矢量场的散度,1. 矢线（场线）：,在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。,2. 通量：,定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。,表达式：,若曲面为闭合曲面：,讨论：,a.
8、 如果闭合曲面上的总通量,说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。,b. 如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。,c. 如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量等于穿出的通量。,3. 散度：,a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。,b.表达式：,c.散度的计算：,在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。,矢量场 表示为：,因为：,则：,在 x 方向上的总通量：,在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：,整个封闭曲面的总通量：,同理：在 y方向上,穿过 和 面的
9、总通量：,该闭合曲面所包围的体积：,通常散度表示为：,4.散度定理：,物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。,柱坐标系中：,球坐标系中：,正交曲线坐标系中：,直角坐标系中：,常用坐标系中，散度的计算公式,六、矢量场的旋度,1. 环量：,在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。,可见：环量的大小与环面的方向有关。,2. 旋度:,定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。,表达式：,旋度计算：,以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：,场矢量：,其中： 为x 方向的环量密度。,旋度可用符号表示：,其中：,可得
10、：,同理：,所以：,旋度公式：,为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:,类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：,对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。,3. 斯托克斯定理：,物理含义： 一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。,七、重要的场论公式,1. 两个零恒等式,任何标量场梯度的旋度恒为零。,任何矢量场的旋度的散度恒为零。,在圆柱坐标系中：,在球坐标系中：,在广义正交曲线坐标系中：,2. 拉普拉斯算子,在直角坐标系中：,3. 常用的矢量恒等式,8、 亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理：若矢量场 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界
11、，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即,证明：假设在无限空间中有两个矢量函数 和 ，它们具有相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，令,要证明矢量场由其散度和旋度唯一确定，即矢量 和矢量 是同一矢量， 应该为零矢量。,因为 和 有相同的散度和旋度,由矢量场论中梯度的散度恒等于零, 令,由在无限空间中拉普拉斯方程解的有限性及 函数的任意性，知 只能是一个常数，即 ， 。,无源（散）场与无旋场,无源（散）场,若一矢量场 中，其散度处处为零，即,则该场称为无散场，有,由矢量场论知：旋度的散度等于零，所以,（ 称为矢势）,无旋场,若一矢量场 中，其旋度处处为零，即,则该场称为无旋场，有,由矢量场论知：梯度的旋度等于零，所以,称为标（位）势,一般而言，在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场 和一个无散场 之和，即,