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1、第一章 矩阵和行列式,第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 分块矩阵 第四节 行列式 第五节 逆矩阵,第一节 矩阵的概念,1.1 矩阵的概念,定义1.1 矩阵,（1.1）,1.1 矩阵的概念,1.1 矩阵的概念,矩阵 称为这个图的关联矩阵.,上图的关联矩阵为：,1.1 矩阵的概念,定义1.2 主对角线，主对角元,对角矩阵,主对角线元全是1的对角矩阵称为单位矩阵，记为,定义1.3 上三角矩阵，下三角矩阵,第二节 矩阵的运算,定义 矩阵的和,定义 矩阵的差,注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加减法运算.,例如：,定义 矩阵的数乘,例 设 满足,定义1.7 矩阵的乘法,例：,例：,
2、求AB,故,解:,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时， 两个矩阵才能相乘.,例如:,不存在.,例,解：,练习：,计算下列矩阵的乘积.,第一，矩阵乘法不满足交换律. AB有意义，而BA 可能无意义；一般，ABBA,例 设A, B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三 角矩阵.,1.2 矩阵的运算,定义1.8 矩阵的转置,例:,例： 已知,解法1：,解法2：,定义 对称矩阵，反对称矩阵,注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,第三节 分块矩阵,1.3 分块矩阵,1.3 分块矩阵,分块矩阵也可以按普通矩阵的运算方法运算。前提是: 所有(小)矩阵运算有意义.,1.3 分块矩阵,1.3 分块矩
3、阵,1.3 分块矩阵,1.3 分块矩阵,第四节 行列式,一. 二阶行列式,二. n 阶行列式的定义,三. 行列式的性质,四. 行列式按一行（列）展开,五. Cramer 法则,行列式概念的形成,行列式的基本性质及计算方法,（定义）,利用行列式求解线性方程组,练习 计算行列式,四个结论：,(1),上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）,(2),下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）,(3),（显然）,(4),四. 行列式的性质,性质1：,行列式与它的转置行列式相等。,称为D的转置行列式,性质2：,互换行列式的两行（列），行列式的值变号。,如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。,推
4、论：,用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素， 等于用数 k 乘此行列式。,性质3：,推论：,行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面,记法,第s行乘以k：,第s列乘以k:,推论：,若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。,性质5：,行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,记法,数k乘第 t 行加到第 s 行上：,性质6：,设A ，B为同阶方阵，则det(AB)=det(A)det(B),=9,利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算： 计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）
5、化为 仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式， 如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。,课堂练习:,1. 计算行列式,例：,箭形行列式,目标：把第一列化为,成三角形行列式,记系数矩阵为A,当 时，方程组有惟一解：,例： 用Cramer法则解线性方程组。,解：,注:,1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。,理论意义：给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。,3. 撇开求解公式,Cramer法则可叙述为下面定理：,定理：,定理：,线性方程组,则称此方程组为非齐次线性方程组。,此时称方程组为齐次线性方程组。,非齐次与齐次线性方
6、程组的概念:,齐次线性方程组,易知，,一定是(2)的解， 称为零解。,若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。,有非零解.,系数行列式,定理：,定理：,如果齐次线性方程组有非零解， 则它的系数行列式必为0。,例： 问 取何值时， 齐次线性方程组 有非零解？,解：,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解。,1. 行列式的概念及性质.,行列式的计算方法： （1）按一行（或列）展开 （2）化为上三角形 3. 克莱姆法则,小结：,第五节 逆矩阵,例 : 设,则,逆矩阵的求法 一:待定系数法,例: 设,解：,设 是 的逆矩阵,又因为,所以,奇异矩阵：,非奇异矩阵：,（退化矩阵）,（
7、非退化矩阵）,2. 矩阵可逆的判别定理及求法,伴随矩阵,注意下标,代数余子式的顺序!,(1),(2),逆矩阵的求法二：伴随矩阵法,例：求方阵 的逆矩阵.,解,同理可得,故,3. 可逆矩阵的运算性质,证明：,证明：,证明：,(5) 若 可逆，则有,一个很重 要的式子,解:,例：,解：,例：,1. 矩阵的3种初等运算：,(1) 对调矩阵的两行。,(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。,将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。,矩阵的初等变换与初等矩阵,1.矩阵的初等变换 2.初等矩阵 3.用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,同理可定义矩阵的初等列变换,矩阵的初等变换,通常称
8、 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,定义：,定义：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,2. 初等矩阵,(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。,初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。,定理：,3. 逆矩阵的求法 三:初等变换法,可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.,定理：,可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,推论1：,推论2：,如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等,行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变
9、成 。,解：,例：,练习 ：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵,若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆!,求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换.,注：,即,初等行变换,另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵,例：,解：,方法1：先求出 ，再计算 。,方法2：直接求 。,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,小结：,要求掌握内容:,(1)掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵. 做到给出变换会写相应的初等矩阵.,(2)会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵.,例： 设,解,于是,1. 逆矩阵的概念及运算性质.,3. 逆矩阵的计算方法：,2. 逆矩阵 存在,小结：,