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1、第三章连续函数,3.1连续函数,3.2连续函数的性质,3.1 连续函数的概念,一、连续函数的概念 二、例题 三、间断点的分类,一、连续函数的概念,定义 设函数 在 有定义,若函数,在a存在极限,且极限就是 即,则称函数 在 连续, 是连续函数 的,连续点。 说明：1. 函数 在 连续必须满足以下,1. 函数在一点的连续性定义,三个条件： （1）.函数 在 有定义； （2）. 存在； （3）. 2. 函数 在 连续比函数 在 存在极限有更高的要求。,因为,例如： 在 处连续,这是,又如：函数,在 处不连续 ，这是因为,例,所以,并且 是 的一个可去间断点.,极限,这是,例:,因为,2.函数 在一
2、点 连续的等价定义,定义2,如果,对任意的 存在 当 时,应的函数(在 y0 处)的增量,为狄利克雷函数.,证,注意:上述极限式绝不能写成,例1,由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0,3.函数在一点左(右)连续的定义:,要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.,极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还,x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说,有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点,定义4,很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数,定理,f 在,有定义，若,的定义可得：,例 讨论函数,解 因为,综上所述,所以,4.函数在区间上的连续性,定义
3、 若函数 在区间上每一点都连续(若区间,I左(右)端点属于I,函数 在左(右)端点右连续).,则称函数 在区间上连续。,二、间断点的分类,定义,定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却,由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在,点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:,或不连续点.,在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点,1不连续点（间断点）定义,等于f (x0).,根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类： (1)第一类间断点,可去间断点: 若,一个可去间断点.,2间断点及其分类,注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定,点.,可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.,义无关.,跳跃间断点:若,例,所以,并且 是 的一个可去间断点.,例 讨论函数,在 x = 0 处是否连续？若不连续，则是什么类型的,2.若点x0是 的可去间断点,那么只要重新定,x0 连续.,间断点？,所以 f (x) 在 x = 0 处右连续而不左连续,从而不,断点是跳跃间断点.,连续. 既然它的左、右极限都存在，那么这个间,例,解 因为由归结原理可知，,均不存在，,点？,