第八讲模煳数学简介.ppt

《第八讲模煳数学简介.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八讲模煳数学简介.ppt（71页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、模糊数学简介,模糊数学(Fuzzy mathematics, 弗晰数学 )是解决模糊性问题的数学分支. 这里所谓的“模糊”是相对于“明晰”而言的, 而所谓的“明晰”即非此即彼.明晰数学数学的基础是经典集合论: 一个元素a, 要么属于集合A, 要么要么属于A的余集, 二者必居其一. 但是并非所有的现象和概念都象经典集合论这样“明晰”, 有许多概念没有明确的界限, 特别是在人类的思维与语言中，例如: 高矮、胖瘦、美丑等. 模糊数学的出现与计算机智能模拟密切相关.,1965年, 美国加利福尼亚大学自动控制专家L. A. Zadeh第一次提出了模糊性问题, 从不同于经典数学的角度, 研究数学的基础集合

2、论, 给出了模糊概念的定量表示方法, 发表了著名的论文“模糊集合” (Fuzzy sets). 这篇论文的问世, 标志着模糊数学的诞生. 随着研究的深入, 模糊数学的内容日益丰富, 其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技术的很多领域, 取得了很多重要成果, 例如: 模糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等.,L. A. Zadeh是美国工程科学院 院士, 1921年2月出生在前苏联 的阿塞拜疆, 1942年毕业于伊 朗的德黑兰大学, 1949年获美 国哥伦比亚大学电机工程博士 学位, 现任伯克利加利福尼亚 大学电机工程与计算机科学系教授, 曾多次在一些大学和公司做访问研究, 其中包括MIT和IB

3、M实验室. 他的著名论文 L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and control, 1965, 8(3): 338-353.,第一章 模糊集合,1.1 经典集合,经典集合的元素彼此相异, 即无重复性, 并且边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA), 要么不属于集合(记作xA), 二者必居其一. 集合A的特征函数：,集合的表示法： (1)枚举法；(2)描述法，A=x | P(x). AB 若xA，则xB； AB 若xB，则xA； A=B A B且 A B. 集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集, 记为2A. 并集AB = x | xA或xB

4、 ； 交集AB = x | xA且xB ； 设全集是X, AX, 余集Ac = x | xX, xA .,集合的运算规律 幂等律： AA = A， AA = A； 交换律： AB = BA， AB = BA； 结合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )； 吸收律： A( AB ) = A， A( AB ) = A； 分配律：( AB )C = ( AC )( BC ); ( AB )C = ( AC )( BC );,0-1律：AX = X ， AX = A ； A = A ， A = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (AB)c = AcB

5、c， (AB)c = AcBc； 排中律： AAc = X， AAc = , 其中X为全集， 为空集.,集合运算的特征函数表示,这里表示取大运算, 表示取小运算.,集合的笛卡儿积： X Y = (x , y )| xX , y Y . 映射 f : X Y,二元关系 X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系, 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系. 二元关系简称为关系. 若(x , y)R, 则称 x 与 y 有关系，记为 R (x, y) = 1； 若(x , y )R, 则称x与y没有关系，记为 R (x, y) = 0. 映射 R : X Y 0,1实际上是 X

6、Y 的子集R上的特征函数.,关系的矩阵表示法,设X = x1, x2, , xm,Y=y1, y2, , yn, R为从 X 到 Y 的二元关系，记 rij =R(xi , yj )，R = (rij)mn， 则R为布尔矩阵(Boole matrix)，称为R的关系矩阵. 布尔矩阵是元素只取0或1的矩阵.,关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系.,(R1 R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY ,关系合成的矩阵表示法,设 X = x1, x2, , xm, Y

7、= y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn,且X 到Y 的关系 R1 = (aik)ms， Y 到Z 的关系 R2 = (bkj)sn， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵形式： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks, R1 R2 称为矩阵的布尔乘积.,例 设 X =1, 2, 3, 4, Y = 2, 3, 4, Z = 1, 2, 3, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,R1 =(x, y) | x + y = 6,= (2,4), (3,3), (4,2),R2 =(y, z) | y z = 1,

8、= (2,1), (3,2), (4,3),则R1与 R2的合成,R1 R2=(x, z) | x + z = 5,=(2,3), (3,2), (4,1).,等价关系：设R为 X 上的关系, 如果满足 (1) 自反性： X 中的任何元素都与自己有关系，即R(x, x) =1； (2) 对称性：对X中的两个元素x, y, 若x 与y有关系,则y与x有关系,即若R(x, y) =1，则R(y, x) = 1； (3) 传递性：对于X中的三个元素x, y, z，若x与y有关系，y与z有关系，则x与z有关系，即若R(x, y) = 1,R (y, z) =1，则R(x, z) = 1. 则称R为X上

9、的等价关系.,设 R为 X 上的等价关系. 如果(x, y) R, 即x与y有关系R, 则记为 x y. 集合上的等价类 设 R是X 上的等价关系，xX. 定义x的等价类： xR = y | yX , y x . 集合的分类 设 X 是非空集合，Xi 是 X 的非空子集族，若 Xi = X，且XiXj = (i j )， 则称集合族 Xi 是集合 X 的一个分类.,(1) 对任意 xX，xR非空； (2) 对任意 x, yX，若x与y 没有关系R，则 xRyR = ； (3) X = x X xR .,定理 集合X上的等价关系R可以确定X的一个分类. 即,证明: (1)由于R具有自反性，所以x

10、 xR, 即 xR非空. (2) 假设 xRyR , 取z xRyR，则z与x有关系R，z与y也有关系R. 由于R具有对称性，所以x与z有关系R，z与y也有关系R. 又由于R具有传递性，x与y也有关系R. 这与题设矛盾. (3) 显然.,1.2 模糊集合及其运算,模糊集合与隶属函数,设X是全集(或论域)，称映射 A：X0,1 确定了一个X中的模糊子集A，A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,模糊集合的表示,设X是全集，A(x)是模糊集合A的隶属函数. 如果X是有

11、限集合或可数集合, 则将模糊集合A表示为,如果X是无限不可数集合, 则将模糊集合A表示为,X中的所有模糊子集记为F (X), 显然F (X)2X.,例 设论域X = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，如果X中模糊集合A=“高个子” 的隶属函数A(x)定义为,则A表示为,例 设论域X = 0, 100表示年龄的集合，X中模糊集合A=“年老” 和B=“年轻”的隶属函数可分别定义为,A=“年老”,B=“年轻”,例 设X 中元素是各种单连通凸区域x, 以光滑的封闭曲线为边界, 用l 表示边界的

12、周长, S表示区域的面积, 模糊集合A=“圆的程度”, 可定义A的隶属函数为,常用的隶属函数 (1) S型函数 (偏大型隶属函数),(2) Z型函数 (偏小型隶属函数),(3) 型函数 (中间型隶属函数),模糊子集的运算,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 交：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).,例 设论域X = x1, x2, x3, x4, x5(商品集),在X中定义两个模糊集: A = “商品质量好”, B = “商

13、品质量差”, 并设,则Ac = “商品质量不好”, Bc = “商品质量不差”.,可见Ac B, Bc A. 并且,模糊子集的运算性质除了排中律以外与经典集合的运算性质一致, 即 AAc = X， AAc = 不一定成立. 模糊子集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,设A是论域X中一个模糊集合, 01, 称集合,1.3 模糊集的分解定理,A= x | A(x) ,为A的水平集(或截集).,模糊集A的水平集A是一个经典集合, 由论域中隶属度不小于的元素构成. 显然, A0=X.,(1) AB AB； (2) A A； (3) (AB)= AB，(AB)= AB.,水平集的性

14、质 设A, B是两个模糊子集, , 0,1, 于是,模糊集的分解定理 设A是一个模糊子集, 则 即 A(x) = | 0,1，xA .,证明 因为,所以,注 模糊集的分解定理给出了模糊集合与经典集合之间的关系.,1.4 模糊矩阵,若0rij1，则称矩阵R = (rij)mn为模糊矩阵. 显然布尔矩阵是模糊矩阵的特殊形式. 当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.,设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵. A = B aij = bij； AB aijbij； AB = (aijbij)mn；AB = (aijbij)mn； Ac = (

15、1- aij)mn. 有限论域中的模糊集合可以表示为模糊矩阵.,模糊矩阵的并、交、余运算性质,幂等律：AA = A，AA = A； 交换律：AB = BA，AB = BA； 结合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)； 吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)； 0-1律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A； 还原律：(Ac)c = A； 对偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.,模糊矩阵的乘积,设A = (aik)ms，B = (bkj)

16、sn，定义模糊矩阵A 与B 的乘积为： A B = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊方阵的幂 若A为 n 阶方阵, 定义 A2 = A A, A3 = A2 A， ， Ak = Ak-1 A.,(A B) C = A (B C)； Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn； A( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )； O A = A O = O，I A=A I =A； AB，CD A C B D.,模糊矩阵乘积运算的性质,注：乘积运算关于的分配律不成立，即 ( AB ) C ( A

17、 C )( B C ),模糊矩阵的转置,设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵，其中aijT = aji.,转置运算的性质,( AT )T = A； ( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT； ( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ； ( Ac )T = ( AT )c ； AB AT BT .,模糊矩阵的 截矩阵,设A = (aij)mn, 对任意的0, 1，称 A= (aij()mn, 为模糊矩阵A的 截矩阵, 其中 当aij 时，aij() =1；当aij 时，aij() =0. 显然, A的 截矩阵为

18、布尔矩阵.,AB A B； (AB) = AB，(AB) = AB； ( A B ) = A B； ( AT ) = ( A )T.,设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij() =1 cij (aikbkj),存在k, (aikbkj) 存在k, aik , bkj 存在k, aik() =bkj() =1 (aik()bkj()=1;,cij() =0 cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik 或 bkj k, aik() =0或bkj() =0 (aik()bkj()=0.,所以, cij() =(aik()bkj().,证

19、明( A B ) = A B,1.5 模糊关系,设论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称为从X到Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y 0,1. 并称隶属度R (x , y )为(x , y)关于模糊关系 R 的相关程度. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之间的模糊关系.,模糊关系的运算,由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集, 因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R, R1, R2均为从 X 到 Y 的模糊关系.,相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)； 包含：R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)； 并： R

20、1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 交： R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)； 余：Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).,(R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度, (R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度, Rc (x, y)表示(x, y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, , yn,则X 到Y

21、模糊关系R可用mn 阶模糊矩阵表示，即R = (rij)mn，其中 rij = R (xi , yj )0, 1 表示(xi , yj )关于模糊关系R 的相关程度.,如果R为布尔矩阵时, 则关系R为普通关系, 即xi 与 yj 之间要么有关系(rij = 1), 要么没有关系( rij = 0 ).,设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的复合 R1R2是 X 到 Z 上的一个关系: (R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY . 当论域为有限时, 模糊关系的合成可表示为模糊矩阵的乘积.,模糊关系的合成,设X =

22、x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn, 且X 到Y 的模糊关系 R1 = (aik)ms, Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)sn, 则X 到Z 的模糊关系可表示为模糊矩阵的乘积： R1R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks. 在有限论域情况下, 模糊关系合成的性质就是模糊矩阵乘积运算的性质. 值得注意的是模糊关系合成关于的分配律不成立.,模糊等价关系,若X上的模糊关系R满足： (1)自反性: R(x, x) =1, 即I R ( rii =1 ); (2)对称性: R(x, y) =R(y,

23、 x), 即RT=R( rij= rji); (3)传递性: R2R, 即R2R. 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,当论域X = x1, x2, , xn为有限时, X 上的一个模糊等价关系的矩阵R称为模糊等价矩阵, 即R是主对角线元素是1的对称矩阵, 且,R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) .,定理1 若R具有自反性(IR)和传递性(R2R), 则 R2 = R. 证明 IR, R R R R2 R2 = R. 定理2 若R是模糊等价矩阵,则对任意0, 1，R是等价的Boole矩阵.,证明 (1)自反性：IR0,1, IR 0,1, I R； (2)对称性：RT =

24、 R (RT) = R (R)T = R; (3)传递性：R2R (R2)R (R)2R.,定理3 若R是模糊等价矩阵, 则对任意的01, R 所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.,证明 对于论域 X = x1, x2, , xn，若 xi , xj 按R分在一类，则有 rij() = 1 rij rij rij() =1， 即若 xi , xj 按R也分在一类. 所以，R 所决定的分类中的每一个类是R 决定的分类中的某个类的子类.,模糊相似关系,若X 上模糊关系R满足： (1) 自反性: R(x, x)=1, 即I R ( rii =1); (2) 对称性: R(x, y

25、)=R(y, x), 即RT= R (rij= rji).则称R是X 的一个模糊相似关系. 当论域X = x1, x2, , xn为有限时, X 上的一个模糊相似关系的矩阵R称为模糊相似矩阵，即R是主对角线元素是1的对称矩阵.,定理4 若R 是模糊相似矩阵, 则对任意的正整数k, Rk 也是模糊相似矩阵. 定理5 若R 是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小正整数 k (kn ), 对于一切大于k 的正整数 l, 恒有Rl = Rk, 即Rk 是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称Rk为R的传递闭包, 记作 t (R) = Rk . 上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵

26、.,1.6 模糊映射与模糊变换,设论域X, Y. 映射f: XF (Y)称为从X到Y的模糊映射. 例如X = x1, x2, Y = y1, y2, y3, 那么下面的f和g都是从X到Y的模糊映射.,X 到Y 的一个模糊映射 f 可唯一确定X 到Y 的一个模糊关系 Rf; X 到Y 的一个模糊关系R可唯一确定X 到Y 的一个模糊映射 fR. 有时在不发生混淆的情况下,不区分模糊关系和模糊影射.,若映射T 将X 的一个模糊子集A映射到Y 的一个模糊子集B,则称映射T 为从X 到Y 的模糊变换.若模糊变换T 满足 (1) T(AB) = T(A)T(B), (2) T(A) = T(A), 则称T

27、 为模糊线性变换. 设X =x1, x2, , xn, Y =y1, y2, , ym, 则对任意的X到Y 的模糊关系R都可以确定X 到Y 的模糊线性变换TR(A)= AR. 模糊变换的意义是论域的转换.,例 设X =x1, x2, x3, x4, x5,Y =y1, y2 , y3 , y4, X到Y 的模糊关系R为,如果A = x1, x2,如果 于是,TR(B)= (0.5, 0.6, 0.9, 1, 0) R = (0.6, 1, 0.4, 0.5),TR(A)= (1, 1, 0, 0, 0) R = (1, 0.3, 0, 1),于是,第一章 完,第二章 模糊决策,2.1 模糊集中

28、意见决策,为了对论域X =x1, x2, , xn中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对X中的元素排序,得到m种意见： V =v1, v2, , vm, 其中vi 是第i 种意见序列,即X 中的元素的某一个排序.,若xj在第i 种意见vi中排第k位, 设第k位的权重为ak，则令Bi(xj)= ak(n k )，称,若xj在第i 种意见vi中排第k位, 则令Bi(xj) =nk, 称,为xj的Borda数.论域X的所有元素可按Borda数的大小排序.,为xj的加权Borda数.,例 设X =a, b, c, d, e, f , |M|= m = 4人, v1: a, c, d, b,

29、 e, f ; v2: e, b, c, a, f , d; v3: a, b, c, e, d, f ; v4: c, a, b, d, e, f .,B(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13; B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6; B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1; 按Borda数集中后的排序为： a, c, b, d, e, f .,例 设6名运动员X =x1, x2, x3, x4, x5, x6 参加五项全能比赛, 他们每项比赛的成绩如下： 200m x1, x2, x4, x3, x6, x5； 15

30、00m x2, x3, x6, x5, x4, x1； 跳远 x1, x2, x4, x3, x5, x6； 掷铁饼 x1, x2, x3, x4, x6, x5； 掷标枪 x1, x2, x4, x5, x6, x3.,B(x1)=5+0+5+5+5=20; B(x2)=4+5+4+4+4=21; B(x3)=2+4+2+3+0=11; B(x4)=3+1+3+2+3=12; B(x5)=0+2+1+0+2=5; B(x6)=1+3+0+1+1=6. 按Borda数集中后的排序为：x2, x1, x4, x3, x6, x5.,B(x1)=7, B(x2)=5.75, B(x3)=1.98,

31、 B(x4)=1.91, B(x5)=0.51, B(x6)=0.75. 按加权Borda数集中后的排序为： x1, x2, x3, x4, x6, x5,如果考虑加权Borda数排序, 设权重为,设论域X =x1, x2, , xn为n个被选方案, 在n个被选方案中建立一种模糊优先关系, 即先两两进行比较, 再将这种比较模糊化, 然后用模糊数学方法给出总体排序, 这就是模糊二元对比决策. 在xi与xj作对比时, 用rij表示xi比xj的优先程度, 并且要求rij满足 rii = 1； 0rij1； 当ij 时, rij + rji = 1.,2.2 模糊二元对比决策,这样的rij组成的矩阵R

32、 = (rij)nn称为模糊优先矩阵, 由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.,模糊二元对比决策的方法与步骤, 建立模糊优先关系: 两两进行比较，建立模糊优先矩阵., 排序方法： 隶属函数法 对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理, 得到X中模糊优先集A的隶属函数, 再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.,通常采用的方法 取小法：A(xi) =rij | 1jn, i =1, 2, , n; 平均法：A(xi) =(ri1+ri2+rin)/n, i =1, 2, , n.,截矩阵法 对阈值0,1, 给出截矩阵R = (rij() )nn. 当由1逐渐减小时, 若R中第k行首次出现

33、元素全等于1时, 则取xk为第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去xk所在的行与列, 得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取第二优先对象, 如此进行下去, 可将全体对象排出一定的优劣次序.,下确界法 先求模糊优先矩阵R每一行的下确界, 以最大下确界所在行对应的xk为第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去xk所在的行与列, 得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵, 再以此类推.,2.3 模糊综合评判决策,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判. 模糊综合评判决策的数学模型 设

34、X =x1, x2, , xn为n种因素(或指标), V =v1, v2, , vm为m种评判(或等级). 由于各种因素所处地位不同, 作用也不一样, 可用权重A = (a1, a2, , an )来描述, 它是,论域X的一个模糊子集. 对于每一个因素xi , 单独作出的一个评判 f (xi), 可看作是X到V 的一个模糊映射 f , 由 f 可诱导出X到V 的一个模糊关系 Rf , 由Rf 可诱导出X到V 的一个模糊线性变换TR(A)= AR = B, 它是评判集V 的一个模糊子集, 即为综合评判. (X, V, R )构成模糊综合评判决策模型, X, V, R是此模型的三个要素.,模糊综合

35、评判决策的方法与步骤, 建立因素集X =x1, x2, , xn与评判集V =v1, v2, , vm. 建立模糊综合评判矩阵. 对于每一个因素xi ,先建立单因素评判： (ri1, ri2, , rim) 即rij(0rij1)表示vj对因素xi所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵 R =(rij)nm., 综合评判. 根据各因素权重A =(a1, a2, , an)综合评判: B = AR = (b1, b2, , bm)是V上的一个模糊子集, 根据运算的不同定义,可得到不同的模型. 模型：M(,)-主因素决定型 bj = (airij), 1in ( j = 1, 2, , m ) 由于

36、综合评判的结果bj的值仅由ai与rij (i = 1, 2, , n )中的某一个确定(先取小, 后取大运算), 着眼点是考虑主要因素, 其他因素对结果,影响不大, 这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况. 模型：M( , )-主因素突出型 bj = (ai rij), 1in ( j = 1, 2, , m ) M( , )与模型M(,) 较接近, 区别在于用ai rij代替了M (,) 中的airij . 在模型M( , )中, 对rij乘以小于1的权重ai表明ai是在考虑多因素时rij的修正值, 与主要因素有关, 忽略了次要因素.,模型： M(, )-主因素突出型,bj = (ai ri

37、j) ( j = 1, 2, , m ) 模型也突出了主要因素. 在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳, 当模型失效时可采用,. 模型：M( , )-加权平均模型 bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ) 模型M( , )对所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.,例 服装评判. 因素集X =x1(花色),x2(式样),x3(耐穿程度),x4(价格),评判集V =v1(很欢迎),v2 (较欢迎),v3(不太欢迎),v4(不欢迎). 对各因素所作的评判如下： x1: (0.2, 0.5, 0.2, 0.1) x2: (0.7, 0.2, 0.1, 0) x3: (0, 0.4, 0.5, 0.1) x4: (0.2, 0.3, 0.5, 0),对于给定各因素权重A= (0.1, 0.2, 0.3, 0.4), 分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)： B = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1) M( ,)： B = (0.14, 0.12, 0.2, 0.03) M(, )：B = (0.5, 0.9, 0.9, 0.2) M( , )： B = (0.24, 0.33, 0.39, 0.04),模糊综合评判矩阵,第二章 完,