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1、第1讲 变化率与导数、导数的运算,【2014年高考会这样考】 1利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程 2考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导.,考点梳理,1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率,(1)定义 (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 _,yy0f(x0)(xx0),2函数yf(x)在xx0处的导数,3函数f(x)的导函数,4基本初等函数的导数公式,0,nxn1,cos x,sin x,axln a,ex,(1)f(x)g(x)_； (2)f(x)g(x)_；,f(x)g(x
2、),f(x)g(x)f(x)g(x),复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_的导数与_的导数的乘积.,6复合函数的导数,yuux,y对u,u对x,5.导数运算法则,一个区别 曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别： 曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条,【助学微博】,三个防范 1利用公式求导时要
3、特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 2要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别 3正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏,1下列求导过程 A1 B2 C3 D4 答案 D,考点自测,A2(x2a2) B2(x2a2) C3(x2a2) D3(x2a2) 解析 f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2) 答案 C,2(人教A版教材习题改编)函数f(x)(x2a)(xa)2的导数 为 ( ),3(2013福州模拟)曲线ye2x在点(0,1)处的切线方程为 ( ) 解析 y(e2x)2e2x，ky|x02e202，切线 方程为y12(x0)，即y
4、2x1，故选D. 答案 D,答案 A,解析 y3x21，y|x131212. 该切线方程为y32(x1)，即2xy10. 答案 2xy10,5(2012广东)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为 _,【例1】利用导数的定义求函数的导数： 审题视点 正确理解导数的定义是求解的关键,考向一 导数的定义,求函数yf(x)在xx0处的导数的步骤： (1)函数增量：yf(x0x)f(x0)；,A2 B1 C1 D2 答案 B,(1)yexln x； 审题视点 若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导,考向二 导数的运算,【例2】求下列函数的导数：,有的函数虽然表面形式复杂，但在求导之前，利
5、用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错,(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3) (2)法一 y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3) (x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11. 法二 y(x23x2)(x3)x36x211x6， y3x212x11.,【训练2】 求下列函数的导数,【例3】求下列复合函数的导数 审题视点 正确分解函数的复合层次，逐层求导,考向三 求复合函数的导数,解 (1)设yu5，u2x3， 则yyuux(u5)(2x3)5u42 10u410(2x3)4.,求复合函数的导
6、数关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程,【训练3】 求下列函数的导数,【命题研究】 利用导数的几何意义求曲线的切线斜率或切线方程是近几年高考命题的热点，常与函数的图象、性质、几何图形性质交汇命题，主要以选择题、填空题的形式来考查，有时也渗透在解答题之中，难度一般不大,规范解答3求解与曲线的切线有关的问题,教你审题 (1)求出原函数的导函数，按照函数极值点是否在区间0，)内分两种情况讨论，进而求出函数的最小值，(2)直接利用导数的几何意义切点的双重作用，找到关于参数a，b的方程组，求出a，b.,当f(x
7、)0，即xln a时，f(x)在(ln a，)上递增； 当f(x)0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而f(x)在0，)内的最小值为f(ln a)2b；(6分),阅卷老师手记 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0)；但要注意：当函数yf(x)在点x0处的导数不存在时，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xx0；当切点的坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解,解与曲线的切线有关问题的一般程序 第一步：设出切点坐标(x0，y0)； 第二步：计算
8、切线的斜率为kf(x0)； 第三步：写出切线方程yy0k(xx0)； 第四步：将问题转化为函数与方程问题求解,(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程 (2)设g(x)f(x)ex，求函数g(x)的极值 解 (1)因为f(x)x3ax2bx1， 故f(x)3x22axb. 令x1，得f(1)32ab.又已知f(1)2a， 因此32ab2a，解得b3. 又令x2，得f(2)124ab，由已知f(2)b，,【试一试】 (2011重庆)设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.,(2)由(1)知g(x)(3x23x3)ex， 从而有g(x)(3x29x)ex. 令g(x)0，得3x29x0，解得x10，x23. 当x(，0)时，g(x)0，故g(x)在(0,3)上为增函数； 当x(3，)时，g(x)0， 故g(x)在(3，)上为减函数 从而函数g(x)在x10处取得极小值g(0)3，在x23处取得极大值g(3)15e3.,