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1、凌波微步- 数学建模融入 基础课程教学,李尚志 北京航空航天大学,数学建模主要思想,利用数学知识解决问题 实际问题 -建模 数学模型 i求解 实际解 检验- 数学解,咏数学建模,数学精微何处寻,纷纭世界有模型. 描摹万象得神韵,识破玄机算古今. 岂是空文无实效,能生妙策济苍生. 经天纬地展身手,七十二行任纵横.,将数学建模思想引入基础课程教学（一）,利用基础课知识建立模型解决问题: (1)来自现实生活的实际问题 (2)数学自身发展提出的问题,将数学建模思想引入基础课程教学（二）,从问题出发 建立数学模型解决 “发明”出基础课程的知识- 人类的旧知识,学生的新知识,2019/7/20,凌波微步
2、= 数学建模,数学建模主要思想 实际问题 -建模 数学模型 i求解 实际解 检验- 数学解 难以解决 -转化 容易解决 凌波微步:打不赢就跑-转化 跑到打得赢的地方再打,润物细无声：应用案例,随风潜入夜:概念的引入,方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ 3个? 2个?,某个方程是其余方程的线性组合 线性相关,问题：怎样判断a, b, g线性无关？,分别解三个方程？ xa+y b= g, x a+y g = b, x b+y g =a 只须解一个方程 xa+ yb+ zg = 0 看它是否有非零解 线性相关与线性无关 “打假”到底:极大无关组,秩,方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性
3、组合） 删去多余的方程 - 打假 将打假进行到底 极大线性无关组 剩下的方程的个数- 秩rank,极大线性无关组，秩,问题：秩的唯一性,方程组(A1, A2 , A3) 与(B1, B2) 互为线性组合 A1 = a11B1 + a12B2 A2 = a21B1 + a22B2 A3 = a31B1 + a32 B2 x1 A1+x2 A2+ x3 A3=0 : 未知数个数方程个数 有非零解 (x1,x2,x3) A1, A2, A3 线性相关. 方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘且满足运算律,证明仍成立 抽象向量空间,二元一次方程组的几何意义,行列式的定义,方程组,可写成向量形式,即,
4、1. 有唯一解的条件,不共线,即,2. 消元: 方程(1.1)两边与,(1.1),作内积消去y, 得,其中,就是,同理得,图2,因此,于是,3. 二阶行列式 平行四边形面积,称为二阶行列式, 记作,是平行四边形 OAPB 的有向面积,是两个向量,或,的函数,计算公式:,或,图2,4. 代数算法,可写成,其中,三阶行列式与体积,1. 三元一次方程组的几何意义,两边同时与,方程,作内积消去 y, z , 得到,类似地可以得到 y, z 的表达式。,当,时得,从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使,则,就是以OA,OB,OC为棱的平行六面,体的有向体积。称为三阶行列式，记作,2. 三阶行列式 平行
5、六面体体积,利用基本性质计算 n 阶行列式,(3.1),当 i1,i2,in 中有两个相等时，,这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,n 的全体排列 (i1,i2, in ) 求和, 成为:,2019/7/20,几何模型 线性变换前后的图形,2019/7/20,向量方向的变化,2019/7/20,选取特征向量为基,数模赛案例. 足球队排名,根据足球比赛成绩给出各队实力名次 X1 Xj Xn X1 a1j a1n Xi ai1 aij ain Xn an1 anj ain,根据对手实力对得分加权,先验实力比： x1 , ,
6、xj ,xn 后验实力比： y1 , ,yj ,yn y1 = a11x1 + + a1j xj + + a1nxn yi = ai1x1 + + aij xj + + ainxn yn = an1x1 + + anj xj + + annxn Y = AX = lX , X 是特征向量,线性代数,空间为体, 矩阵为用 研究对象-几何：线性空间(向量) 研究工具-代数：矩阵运算 向量 (问题) 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答) 与微积分的关系: 非线性 -微积分 线性 -线性代数,2019/7/20,多元微积分：线性代数模型,微积分基本思想 : 非线性线性 复合函数的导数:,2019/
7、7/20,隐函数存在定理 F(x,y) 在某点P0可微 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)? 一般F不好解决凌波微步 线性化: aDx+bDy 0, y=f(x) 在 x0 可微,导数为,2019/7/20,隐函数存在定理严格证明 F(x,y)=0. 将F(x,y)线性化得: aDx+bDy +d(Dx,Dy)=0 解得Dy =f(Dx,Dy)= Dx+d(Dx,Dy) 迭代: Dy0=0, Dyn= Dx+d(Dx,Dyn-1). 则 Dyn -Dyn-1= dy (Dyn-1-Dyn-2 ) 选 Dx,Dy 的范围充分小,可使|dy| 0.5 且充分小, Dyn 收敛到所需范围.
8、,2019/7/20,可微函数 n 个方程 =0 , 线性化 即 当 det B 时有唯一解,隐映射定理,一元微积分,物理：以匀速代替非匀速 几何：以直代曲（只能看不能算） 代数：以线性代替非线性 例. 自由落体 x = 4.9 t2 . 求t 秒末的速度. 解： x(t+Dt)=4.9(t+Dt)2 =4.9 t2 +9.8t(Dt)+4.9(Dt)2 线性化： x(t+Dt) 4.9 t2 +9.8t(Dt) 误差4.9(Dt)2 : Dt 的无穷小倍 = o(Dt). 速度vt= 一次项系数 9.8t = 导数,几何:以直代曲,抛物线 x = 4.9(t + Dt)2 在点(t, 4.9
9、t2)附近 被切线 x = 4.9t2 + 9.8Dt 近似代替 速度v1 =切线斜率 此几何意义与 x,t 的物理意义无关 可以推广到别的 函数 y = f(x),Dt,Dx,t,x,微分与导数,函数 y = f(x) 在 x=a 附近线性化。 函数增量 Dy = f(x)-f(a),自变量增量Dx=x-a Dy k Dx ， 误差:DykDx = o(Dx) 微分: dy = kDx 导数: = k,记为 f (a) =变化率=切线斜率. 一次函数代替 f(x): y=f(x) f(a) + f (a) Dx,x,Dx,Dy,y,误差的代数理论,约等式 Dy= f(x)-f(a) k Dx
10、 与 y = f(x) f(a) +f (a)Dx 的 误差 能否将 f(x) f(a) +f(a)Dx 与 g(x) g(a) +g(a)Dx 加、减、乘得到： f(x) g(x) f(a) g(a)+(f(a)g(a) Dx f(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)+g(a)f(a) Dx ? 约等式的缺陷：一般不像等式那样具有传递性，不能像等式那样加、减、乘。,假作真时貌似真,极限： f(x) A 即: f(x)=A+q,q无穷小(0). 若 f(x)A, g(x)B f(x)g(x)= (A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2 AB 无穷小的代数性质 (
11、同济. 用 e-d语言证明.) 可以将 q1, q2看成 0，略去不写 写 f(x) A, g(x) B, 像等式一样加、减、乘 得到 f(x) g(x) A B, f(x)g(x) AB 即f(x) g(x) A B, f(x)g(x) AB . 被忽略的元素集合=无穷小= O(Dx) 微分：Dydy （mod o(Dx) f(x) f(a)+f (a)Dx（mod o(Dx),多项式的导数,. 多项式 f(x)=anxn +a1x+a0 的导数: 差分D f(x) = f(x+ t ) f(x)=(nanxn-1+a1)t +()t2 是 t 的多项式, 其中t 的一次项系数即 f (x)
12、 =nanxn-1+a1,和差积商的导数公式,f(x) f(a) + f(a) Dx g(x) g(a) +g(a) Dx 两式相加减 和差的导数 相乘乘积的导数 f(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)+g(a)f(a) Dx 倒数的导数:,指数函数的微分,ax+Dx ax +kDx (mod o(Dx) , aDx 1+ lDx , l = k/ax (a1/l) lDx 1+ lDx bt 1+ t, b = a1/l , t = lDx，取 t = 1/n, b1/n 1+1/n (o) b (1+1/n)n (O) ? b1/n = (1+1/n)(1+q/n), b
13、 = (1+1/n)n (1+ q/n)n 1+q (1+ q/n)n 1/(1-q/n)n 1/(1-q) n, q0, b = e , a = el, l = ln a, (ax )= k = ax ln a.,对数函数的导数,k=lim (loga(x+Dx) logax)/Dx, = lim loga (1+Dx/x) 1/Dx , t = Dx/x =(1/x) lim loga (1+t) 1/t =(1/x) loga e 当 a=e 时 k=1/x.,不请自来的 e,例1. 邯郸农行案 某彩票中奖率 1/n, 买2n张全不中的概率 （1-1/n)2n e-2 0.135 例2.
14、 将正实数 a 分成若干个正实数 xi 的和，这些xi 的乘积何时最大 解. 假定已分成 a=nx, xn 最大. 试验：x再细分成2份, (x/2)2 2. n个x细分成 (nx/(n+1)n+1 (1+1/(n-1) n-1 x = e 时肯定满足。,匀速圆周运动三角函数导数,质点绕原点做匀速圆周运动 角速度 w, 半径 R=1 时刻 t: 位置 P(coswt, sinwt) 速度向量 v 大小为 w , 方向可由x轴旋转 wt+p/2 得到, 坐标 (wcos(wt+p/2), wsin(wt+p/2) = (-wsinwt, wcos wt) (sinwt)= wcos wt, (c
15、os wt)= - wsinwt,wt,sinwt,P,wt+p/2,w,v,x,O,定积分的物理模型:求路程,已知速度 v(t) (t a,b) 求路程 匀速: v(t) = k(常数), 路程 s = kDt = k(b-a) 变速: 分段看成匀速求路程: 短路程 即时速度短时间 大路程 i短路程 i v(ti) Dti s =ab v(t) dt,几何模型：求面积,时间段a,b内的路程 s = 区间a,b上速度函数曲线v=v(t) 与横轴所围面积 S(a,b) . 数学实验: 通过求单位圆面积算p,t,s,a,b,v(t),v,t,a,b,v,v(t)=k,s=k(b-a),O,O,微积
16、分基本定理,数学聊斋(生活中模型)： 飞檐走壁之电影 实现 由路程 s=f(t) 求速度易: v(t) = f(t) 由速度v(t)求路程 s(a,b)=ab v(t) dt 难 倒过来放映: 求位置函数 f(t) 使 f(t) = v(t) 路程 s(a,b) = 位置差Df(t) = f(b)-f(a) . 对 y=f(x), 找 F(x)(原函数)使 F(x)=f(x),则,求曲边梯形面积,例. 求曲线 y = xn与 x 轴在区间 0,b上 所围面积 S(0,b). 解. 将x看成时刻, y看成速度, 求位置函数 F(x)使 F (x)= xn 则 S(0,b) = F(b)-F(0)
17、 . 在求导公式(axn)= naxn-1中 将 n 换成n+1, a换成 知 F(x)= 符合要求. 故 S(0,b)= bn+1,O,b,x,y,y=xn,S(0,b),2019/7/20,数学实验: 多项式逼近 sin(x),罗必达法则,发明罗必达法则 例. 求极限 (1) (2) If 分子分母是多项式: 享受幸运!约分! Else,创造幸运: 化成多项式(凌波微步)再约分!,Taylor展开,余项估计,f(n+1)(a)=常数, f(n+2)(a)=0 f(x)=a0+a1Dx+an+1(Dx)n+1 (k!)ak=f (k)(a),00 d(x)0, g1(x)f(x)g2(x)
18、f(x)=Sk=0nf(k)(a)(Dx)k/(k!)+l(Dx)n+1/(n+1)!) M1l M2,网上资源,中科大 http:/ 精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) 北航 http:/ 精品课程教育部 线性代数(非数学类)(2006) 高等数学 2008 (郑志明) 联系办法: ,已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用), 高等教育出版社,2006.5,参考文献,凌波微步让微积分更简单易学, 大学数学，第24卷第3期, p1-12,2008.6。 线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2006. 让抽象变得自然-建设国家精品课程的体会, 中国大学教学, 20
19、06年第7期 线性代数精彩应用案例(之一),大学数学, 2006年第3期 线性代数精彩应用案例(之二),大学数学, 2006年第4期 若当标准形的计算,大学数学,2006年第5期 从问题出发引入线性代数概念,高等数学研究,2006年第5期,第6期,数学聊斋,之一 峨嵋山的佛光,博比: 长颈鹿 马马 老虎 猫咪 狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸 纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少3位) 原码: 010011101011传输 错码: 010010101011纠错 最接近的合法码,之二 指鹿为马之幼儿版,数学聊斋 之三 人挤成照片之维数变化 之四 飞檐走壁之电影实现,之八 足球的圆与方 - 概率,沙场百
20、胜古来稀 九密一疏已足奇 祸福偶然存概率 风云多变泄天机,之九 没收非法所得是惩罚吗? - 数学期望,某件商品卖500元 合法经营: 成本400元，利润100元。 制假卖假：成本100元，利润400元， 非法所得 400-100=300 元。 没收非法所得：-300， 惩罚 = 0 元。 抓假概率 10%：奖励 300/10=20元(次） 假一罚十: 3009 (30010 300)=0 提高抓假概率至20% =假一罚十 手机竞赛题,之十五 千手观音有多少只手 - 集合的元素个数,2019/7/20,星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换, 能伸能屈是几何。,矩阵与变换,2019/7/20,代数几何熔一炉 乾坤万物坐标书 图形百态方程绘 变换有规矩阵筹,代数与几何,2019/7/20,平方得负岂荒唐, 左转两番朝后方. 加减乘除依旧算, 方程有解没商量.,复数,谢谢 ！,