数学建模讲座2010.ppt

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1、数学建模讲座（2010年7月） 数学建模竞赛评阅标准及注意事项 - 模型创新与论文写作,谢金星 100084北京清华大学数学科学系 Tel: 010-62787812，Fax: 010-62785847 Email: http:/ - 建模及建模竞赛的意义 竞赛评阅标准 - 一般原则及主要问题 创新能力培养 -几个例子,纯粹数学(Pure Math) 基础/核心(Core)数学？ 应用数学(Applied Math) 计算数学(Computational Math) 概率论与数理统计 随机/统计数学？ 运筹学(OR)与控制论 运筹数学？,数学的二级学科(研究生专业),应用数学,Core,具体应

2、用学科,具体应用学科,应用数学,应用数学,数学建模：数学与实际问题的桥梁,数学建模: 应用数学知识解决实际问题的第一步 数学建模: 通常有本质性的困难和原始性的创新(关键一步) Pure Math vs Applied Math: Logic vs Problem Driving “源”（Motivation）远“流”（Impact）长,实际问题,数学,Mathematical Modeling,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的, 作出必要的简化假设，根据对象的内在规律

3、， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),数学建模的全过程,现实世界,数学世界,数学知识 数学技巧, 随机数学 代数与几何 微积分,数学：几个层次的理解,（美国大学生）数学建模竞赛(MCM),1985年开始举办，每年一次(2月)；“国际竞赛”,我国(清华等校) 1989年开始每年参加，英文答卷,MCM-2010有约14国(地区)2254队参赛，其中我国占82%; ICM-2010有356队参赛，其中我国占93%,每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志,1999年起又同时推出交叉学科竞赛（Interdiscip

4、linary Contest in Modeling ICM),网址：http:/,美国MCM+ICM竞赛规模,中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）,1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织,1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月),2009年33省/市/区(含港澳)的1137所学校15042队参加,赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识”（2001年起刊登于当年“工程数学学报”）,网址：http:/,奖励：证书 （“一次参赛，终身受益”）,等级：全国一等2%、二等 6%；赛区奖1/3,非数学专业学生约90%（其中约10%来自非理工类专业）,我国CUMCM竞赛

5、规模,学生欢迎：“一次参赛，终身受益” 研究生导师们的认同 企业界的认同赞助 教育改革同行的认同：“成功范例” 国际同行的认同,竞赛的反响,IBM 中国研究中心- 招聘条件 Position title: Business Optimization(BJ) 1Background in industrial engineering, operations research, mathematics, Artificial Intelligence, management science etc. 2. Knowledge in network design, job scheduling, d

6、ata analysis, simulation and optimization 3. Award in mathematical contest in modeling is a plus 4. Experience in industry is a plus 5. Experience in eclipse or programming model / architecture design is a plus -Feb. 18, 2006, http:/ 中国研究中心: Business Analysis Optimization Job Requirements: 1、PhD M.S

7、. in mathematics, statistics, computer science, industrial engineering management science etc. 2、Self-motivated, responsible, able to wk independently under tight deadline willing to wk under pressure. 3、Skill in applied mathematics, including mathematical programming, statistics, data mining, simul

8、ation etc. 4、Knowledge in supply chain logistics strategy modeling, simulation, planning optimization. 5、Strong interest basic knowledge about industry trends, technologies, solutions in analytics optimization. 6、Experience in ERP/SCM/CRM system SCM consulting practice is a plus. 7、Award in highly r

9、egarded mathematical modeling contest is a plus. 8、Experience in eclipse, Java, architecture design is a plus. -March 26, 2009, http:/ 但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）,宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,标准,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。,近年部分竞赛题目,05年：长江水质的评价和预测，DVD在线租赁； 06年：出版社的资源配置，艾滋病疗法评价与疗效预测，煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制； 07年：中国人口增长预测，乘公交

10、看奥运，手机套餐优惠几何，体能测试时间安排 08年：数码相机定位，高校教育学费标准探讨，地面搜索，NBA赛程的分析与评价 09年：制动器试验台的控制方法分析，眼科病床的合理安排，卫星和飞船的跟踪测控，会议筹备,选修或自学数学模型课, 或参加赛前培训 2. 了解和掌握常用数学软件的基本用法 （Matlab / Mathematica, Lingo, ） 3. 了解竞赛基本信息 （竞赛章程，特别是纪律；论文写作规范；) 4. 参加各种类型的数学建模竞赛或模拟赛 （校内赛，地区赛，全国赛，美国赛,),建议：参赛前的准备,简要提纲,应用数学与数学建模 - 建模及建模竞赛的意义 竞赛评阅标准 - 一般原

11、则及主要问题 创新能力培养 -几个例子（结合优化模型）,CUMCM评阅标准,清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新 格式符合规范，严禁暴露身份,创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理,假设的合理性，建模的创造性， 结果的正确性，表述的清晰性。,正确性：不强调与“参考答案”的一致性和结果的精度； 好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的,合理性：关键假设(不欣赏罗列大量无关紧要的假设); 要对假设的合理性进行解释，正文中引用,CUMCM评阅标准: 一些常见问题,有的论文过于简单，该交代的内容省略了，难以看懂,有的队罗列一系列假设或模型，又不作比较、评价， 希望碰上

12、“参考答案”或“评阅思路”，弄巧成拙,数学模型最好明确、合理、简洁： 有些论文不给出明确的模型，只是根据赛题的情况， 实际上是用“凑”的方法给出结果，虽然结果大致是对 的，没有一般性，不是数学建模的正确思路。,有的论文参考文献不全，或引用他人结果不作交代; 参考文献应在正文中引用,从论文评阅看学生参加竞赛中的问题,吃透题意方面不足，没有抓住和解决主要问题； 就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺； 对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成的方法，导致错误； 对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周； 写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参考文献); 队员之间合作精神差，孤军奋战； 依赖心理重，

13、甚至违纪（指导教师、 网络）。,简要提纲,应用数学与数学建模 - 建模及建模竞赛的意义 竞赛评阅标准 - 一般原则及主要问题 创新能力培养 -一个例子,锤子与钉子,数学工具与实际问题,0,y,x,VOR2 x=629, y=375,309.00 (1.30),864.3(2.0),飞机 x=?, y=?,VOR1 x=764, y=1393,161.20 (0.80),VOR3 x=1571, y=259,45.10 (0.60),北,DME x=155, y=987,图中坐标和测量距离 的单位是“公里”,案例: 飞机的精确定位问题,参考资料谢金星、薛毅编著， 优化建模与lindo/lingo

14、软件，请华大学出版社, 2005,飞机的精确定位模型,飞机的精确定位模型,第1类模型: 不考虑误差因素,超定方程组-非线性最小二乘！,量纲不符！,but,？,？,飞机的精确定位模型,第2类模型: 考虑误差因素(作为硬约束),Min x; Min y; Max x; Max y.,非线性规划！,？,？ 仅部分考虑误差! 角度与距离的“地位”为何不同！,其他：,误差非均匀分布！,不等式组？,飞机的精确定位模型,误差一般服从什么分布？,正态分布！,不同的量纲如何处理？,无约束非线性最小二乘模型,归一化处理！,shili0702.m,飞机坐标(978.31，723.98), 误差平方和0.6685 (

15、 4),角度需要进行预处理，如利用 Matlab的atan2函数, 值域(-pi, pi),第3类模型: 考虑误差因素(作为软约束); 且归一化,飞机的精确定位模型,小技巧: LINGO中没有atan2函数, 怎么办？,可以直接利用tan函数！,exam0507c.lg4,同前面的模型/结果,飞机坐标(980.21，727.30 ), 误差平方和2.6 与前面的结果有所不同, 为什么? 哪个模型合理些?,最后: 思考以下模型:,exam0507d.lg4,2004 B题 电力市场的输电阻塞管理,电力从生产到使用的四大环节发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。 我国电力市场初期是发电侧电力市场，采

16、取交易与调度一体化的模式。 电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。 市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划各发电机组的出力（发电功率）分配方案 某线路上有功潮流的绝对值超出安全限值（具有一定的相对安全裕度） ，称为输电阻塞,2004 B题 电力市场的输电阻塞管理,电力市场交易规则： 以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），段价按段序

17、数单调不减。 在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报,每台机组的报价、当前出力和出力改变速率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分，直到它们之和等于预报的负荷，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案（初始交易结果）。最后一个被选入的段价（最高段价）称为该时段的清算价，该时段全部机组的所有出力均按清算价结算。,表3 各机组的段容量 （MW）,表4 各机组的段价 (元/MWh),当前出力,2004 B题 电力市场的输电阻塞管理,1. 确定各线路上潮流关于各发电机组出力的近似表达式,当前时段各发电机组出力 p1(0), , pn(0), 线路潮流

18、uj(0),答卷中的问题：没有常数项 a0；没有统计检验,2. 设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则,阻塞调整引起的损失： 序内机组少出力；序外机组多出力。,第i台机组第k段分配出力pik(0)，段价gik(0)；清算价g(0)； 调整后实际出力pik，,序内机组的损失,序外机组的损失,对序内、序外机组损失同等对待的阻塞费用,答卷中的问题：未考虑不同段的段价。,3. 给定下时段的需求预报，寻求各机组的出力分配预案,按照各机组的各段段价由低到高的顺序，选取各机组的段容量，直到其和等于需求预报。,选取过程要考虑各机组爬坡速率的限制,各机组的出力分配预案和清算价同时得到。,答卷中的问题：未给出一般算

19、法（只是具体结果）,一种0-1规划模型：数据准备,扩展： 考虑机组数、段数和由于爬坡形成的最低位置和最高位置： 8*12矩阵,表3 各机组的段容量 （MW）,爬坡速率2.2MW/min,当前出力,爬坡速率.MW/min,累加 段容量 （MW）,表4 各机组的段价 （元/MWh）,G,一种0-1规划模型,计算结果(LINGO)：c = 303,tij,gij,pi(0),pi(0),P,西北工大,4. 检查分配预案是否会引起输电阻塞，并在发生阻塞时，根据安全且经济的原则，调整分配方案，给出与该方案相应的阻塞费用。,模型一：发生阻塞时以阻塞费用最小为目标，调整各机组出力。,满足需求,潮流限制,爬坡

20、速率约束,机组出力上限,潮流与机组出力关系,模型二：当模型一无可行解时，以安全裕度利用率最小为目标，调整各机组出力。,线路安全裕度 rj，安全裕度利用率 qj,答卷中的问题：目标中未使用相对安全裕度；或使用求和而不是最大值,模型三：在模型二最优解 q*基础上，以阻塞费用最小为目标，调整各机组出力。,答卷中的问题：模型不完整（约束不全）。,CUMCM-2005B: DVD在线租赁,命题人：余刚先生（教授） 时任亚马逊公司全球供应链运营副总裁 曾任美国德州大学奥斯汀分校管理学院Jack G. Taylor讲席教授 获多项美国专利，1995年创建美国科莱科技公司(CALEB Technologies

21、 Corp.)并任董事长和总裁 航班管理：2001年为美国大陆航空公司所创造的价值超过6000万美元，获2002年运筹学与管理科学应用Franz Edelman奖(运筹学与管理科学应用的“世界杯”),CUMCM-2005B: DVD在线租赁,网上DVD在线租赁业务（2005年时的背景） 亚马逊英国公司(amazon.co.uk) ；美国和等；欧洲等著名公司 租赁的DVD多达几万种，用户多达几十万几百万，有的包括多个配送中心 题目：会员每月最多可租赁两次，每次张DVD 第（1）、（2）问：分别考虑购买和分发子问题 第（3）问：同时考虑购买和分发 第（4）问：自己提出新问题，尝试建模和求解,问题1

22、 网站购买DVD的数量,调查1000个会员，愿意观看这些DVD的人数如表; 历史数据显示，60%的会员每月租2次，40%租1次; 网站10万个会员，每种DVD应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD? 如要保证三个月内至少95%能够看到该DVD呢？,问题1:网站购买DVD的数量(x),假设：每种DVD独立考虑（联合考虑没有足够信息）,希望看到该DVD的会员数量：确定？随机！,保证一个月至少P%有需求的会员能得到满足?,会员希望看该DVD的概率为p 网站的会员总数为n,n比较大，可用正态分布N(np, npq) 近似（q=1-p）,二项分布N(n,

23、 p),可近似认为1个月该DVD实际可用张数是1.6x张,一定置信水平下成立！,问题1:网站购买DVD的数量(x),置信水平,N(np, npq),问题1:网站购买DVD的数量(x),0.95; n=100000; P%=50%,推广到个月的模型,类似考虑：张DVD在三个月内可以用多少次？ 归还规律出借规律的探讨将变得复杂一些，一般需要在更多的假设下，才能得到（如还回网站的DVD是否一定能马上分给某个需要的会员？）,问题1:网站购买DVD的数量(x),其他模型：,数值模拟（仿真）：需交代详细过程 （归还规律？出借规律）,其他理解：例如认为表中给出的只是初始时段(一个月或半个月)的需求，并进一步

24、假设以后时段的需求持续不变或按某种规律变化 （排队论？随机决策？）,需求上限：一定置信水平下得到上限M （x = P% * M / 1.6）,问题及数据形式(EXCEL表格),问题2 DVD最优分配,模型一：0-1规划模型（最常见）,答卷中的问题： 目标定义不合理 约束不完整 软件使用不当 (LINGO求解容易,Why?),定义满意度,模型,问题2 DVD最优分配,模型二：网络优化模型 最小费用最大流,会员 DVD,aij=aij (aij 0) aij=M (aij =0) (或没有弧),存在多项式时间算法 两个模型等价吗?,问题2 DVD最优分配,上海交大,在一定的假设下，把问题近似分解成

25、前面考虑过的购买和分发两个子问题。例如，有的论文先根据会员订单统计DVD的需求情况，确定DVD购买量，然后用前一问中建立的模型进行第一次分发，再对网站是否知道哪些会员租赁两次作出一定假设，进行第二次分发。 有的论文对前一问中建立的模型进行一定修改，建立购买和分发统一的多目标数学规划模型，且同时考虑两次分发和服务水平约束，不过往往在二次分配和服务水平约束方面考虑有些缺陷。 考虑到一个月内可能一个会员要发货两次，这又是一个多阶段的决策问题，建立随机决策模型并寻找最优决策是可能的（例如采用马氏决策方法），但由于后一阶段决策时需要考虑前一阶段哪些会员归还了哪些DVD，因此这样建立模型的难度较大，评委们

26、在评阅中几乎没有见到非常成功的论文。 采用数值模拟（仿真）建模和求解，或检验其他模型。,问题 同时采购与分配,网站应充分利用会员过去租赁的历史数据从各方面认真进行统计分析（数据挖掘），并对会员进行分类处理； 网站对DVD应分多次购买而不是一次性购买； 网站的短期利益与长期利益应该权衡； 如果不限定会员每月最多只租赁2次，对网站运营会有什么影响？ ,问题 自己提问题,小结： CUMCM评阅标准,模型完整明确 模型/算法创新 软件使用恰当,假设的合理性，建模的创造性， 结果的正确性，表述的清晰性。,深入思考/分析 表达规范严谨 严禁作弊抄袭,Questions / Comments?,Thank you for your attendance! 最后，祝大家 在数学建模活动中 不断提高素质和能力！,谢金星, 清华大学数学科学系, 2010.,本讲稿下载网址：http:/