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1、直接向大师们而不是他们的学生学习。 -阿贝尔,第十章 球函数,偏微分方程,常微分方程组,分离变量,本征值问题,广义傅立叶级数,勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）,特殊函数,勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式； 贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、 超几何，合流超几何等函数。,2,一般的球函数,球函数方程：,球函数（l 称作球函数的阶）：,10.1 轴对称球函数,3,轴对称拉普拉斯方程的求解,4,（一）勒让德多项式,处有限,（1）代数表示,则对,约定最高次幂系数,5,勒让德多项式：,：小于、等于 l /2的最大整数。,每项总含 x,唯一不含 x 的项,6,7,勒让德多项式的图象,8,(2) 微分表示
2、（罗德里格斯公式）,证：,9,(3) 积分表示（施列夫积分）,由科西公式,C 绕 z=x 点。,设半径为,C 上,10,即,第二类勒让德函数,勒让德方程的一般解,由朗斯基行列式导出第二个线性独立解,11,在x = 1处均发散,本征值 v =0, 1, 2, 3, ,在 x =0点邻域内，两个线性无关解,附录4：对于一般的 v值，两个解在 x = 1 处均对数发散,12,（三） 正交关系,（四） 模,习题9.3（5）P261,在 x =1点邻域内，两个线性无关解,第一类勒让德函数,第二类勒让德函数,在 x =1点解析,在 x =1点发散,若还要求在 x = -1点有界，,本征值 v =0, 1,
3、 2, 3, ,x = 1点有界,13,第一项为零，即,进行 l 次分步积分后,只有最高次幂才不为零，故,再逐次进行分步积分，得,即,14,（五）广义傅立叶级数,定义在区间 -1,1的函数f(x)可以展开为广义傅立叶级数,展开系数为,或区间 0, 的函数 f()展开为,系数为,勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 -1,1中分段连续的函数f(x)，在平均收敛意义下，可展开为级数,平均收敛：,15,16,正交性,正交性应用例题,模,例1：,在-1,1中将 展开为广义傅立叶级数。,解：,比较,展开式最多含三阶勒让德多项式。,17,例2,是奇函数：,x=1为二阶零点,18,因,找出,项，它在 x=0
4、 才不为零,19,例3,解：,由轴对称,球内含,所以,（六）拉普拉斯方程的轴对称定解问题,边界条件与角无关，可以推断 解也与角无关。故m=0,边界条件：,20,例 4,定解问题：,偶延拓：,或,或,21,22,例 5,均匀电场中放置介电常数的球，求介质球内、外的电场,解：,无穷远处有边界条件， 球面处有衔接条件。,取球坐标，z-方向沿,轴对称拉普拉斯问题,内外分别讨论，然后连接起来,边界条件：,衔接条件：,Internal:,External:,电势连续：,电位移连续：,有限,23,轴对称拉普拉斯方程解的一般形式：,球内 有限：,球外无穷远边值：,24,利用衔接条件：,解得,25,球内电场强度
5、：,26,（七）母函数,定义：,叫勒让德多项式的母函数。,电荷在单位球的北极。 求球内任一点电势。,它又是拉普拉斯方程的内解：,令,故,27,令,所以,半径 R 的球：,球外,28,例6,解：,利用已知结果。,导体内：等势。,导体外：,无导体时,有导体时，设,接地,29,又,是 处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的镜像。,是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。,30,（八）递推公式,两边对r求导,或,两边同幂 的系数,递推公式,31,32,母函数应用：勒让德多项式模的计算,10.2 连带勒让德函数,（一）函数,设,(1)表达式,33,(2) 微分表示,情况：,二阶微分方程至少有两个独立解，但满足
6、特定边界条件的本征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。,比较最高次幂系数,34,(3)积分表示,（二）正交关系,（三）模,多次分步积分：,（四）广义傅立叶级数,35,36,连带勒让德函数,以 为基，再-1,1区间展开函数,例1,例2,37,项系数有贡献,项系数有贡献,每项含有x,38,10.3 一般的球函数,（一） 球函数,（二）正交关系,（三）模,（四）球面上的广义傅立叶级数,39,例1,例2,注意：,40,例3,偶极矩的电场中的电势,解,沿x轴,41,沿y轴,沿z轴,m=0,沿任意方向,(五)拉普拉斯方程的非轴对称解,例4,球内解,42,其余,边界条件：,例5,球外解,43,四极矩,取分量：,一个偶极矩的电势,两个偶极矩的电势,偶极矩,44,一般的,45,加法公式：,用一般球函数,展开,复数形式,矢量OP与OM的标积,归一化球函数,46,