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1、第三节 区间估计,在估计湖中鱼数的问题中,若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条也可能小于1000 条.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.,习惯上把置信水平记作,，这里 是一个,很小的正数., ,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.,一.置信区间与置信度,对于样本,找出,使得：,称区间,为该区间的置信度,区间估计要求根据样本给出未知参数的范围，,并保证
2、真参数以指定的较大概率属于这个范围。,通常,采用95%的置信度,有时也取99%或90%.,即置信度为,这时重复抽样100次,则在得到的100个区间中包含,真值,的有95个左右,例如:若,是一个随机区间；,给出该区间,可能性。,区间,由于正态随机变量广泛存在，,指标服从正态分布，,特别是很多产品的,我们主要讨论总体分布为正态的区间估计情形.,若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.,几个常用统计量复习,二.正态总体均值的区间估计,(1) 已知方差，估计均值,设,为总体,的一个样本,置信度,下，来确定,设已知方差,且,一个无偏点估计
3、.,的置信区间,且,对于给定的置信度,查正态分布表，找出,临界值,使得：,由此可找出无穷多组,通常我们取对称,使：,区间,由上 分位点的定义,推得，随机区间：,需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的.,对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.,我们总是希望置信区间尽可能短.,任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.,置信区间短表示估计的精度高，,像 N(0,1)分布那样概率密度,的图形是单峰且对称的情况。,当n固定时以,的区间长度为最短，,我们一般选择它。,若以L为区间长度，则,可见L随 n 的增大而减少（ 给定时）,例1 已
4、知某种油漆的干燥时间（单位:小时）服从正态,分布,其中未知,现在抽取25个,样品做试验，得数据后计算得,取,求的置信区间。,解,选取统计量为,由公式知置信区间为,查表,则所求的置信区间为,代入样本值计算,例2,设总体,问需要抽取容量为多,大的样本,才能使,的置信水平为0.95 的置信区间,的长度不大于 0.49 ?,查表得,于是,的置信水平为0.95的置信区间为,该区间长度,要使,只要,即,取,2) 未知2时，的置信区间,当总体X的方差未知时，,容易想到用样本方差 代替2,已知,则对给定的， 令,查t 分布表，可得,的值。,则的置信度为1的置信区间为,由中心极限定理知，,当 n 充分大时，,无
5、论X服从什么,分布，都近似有,当n很大时，,容易想到用样本方差代替后对分布影响,不大，,故n很大时，n50,则的置信度为1的置信区间为,例3,40名旅游者。,解,选取统计量为,由公式知置信区间为,查表,则所求的置信区间为,为了调查某地旅游者的平均消费额X，,随机访问,得平均消费额为,元，样本方差,设,求该地旅游者的平均消费额,的置信区间。,例4 某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）.,解：,设每天职工的总医疗费为X，,近似服从正态分布,大样本，由中心极限定理，,E(X)= ,
6、D(X)=,未知，用样本标准差S近似代替.,选取统计量为,由公式知置信区间为,若225,的置信区间为,即,均值的区间估计总结,(1) 方差已知,方差未知,(2),三、两个正态均值差 的置信区间,独立,的一个置信水平为 的置信区间为,未知，,的置信区间,的一个置信水平为 的置信区间为,(3) 大子样对两总体样本均值差 区间估计 U估计,且X与Y独立,X1,X2,是取自X的样本,取自Y的样本,Y1,Y2,大样本，由中心极限定理，,未知，用样本标准差S近似代替.,则 的置信度为1 的置信区间为,四. 方差的区间估计,设,我们知道,并且样本函数：,因此使概率对称的区间：,即：,置信区间：,即,设某机床
7、加工的零件长度,16个零件，测得长度（单位：mm）如下：,12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,在置信度为95%时,试求总体方差 的置信区间。,例5,今抽查,解 已知,查,得,查,得,由此得置信区间:,所求标准差的置信度为0.95的 置信区间由,得,例6,为了估计灯泡使用时数（小时）的均值和,解,测试了10个灯泡得,方差2，,若已知灯泡的使用时数为X，,求和2的置信区间。,由公式知的置信区间为,的置信区间为,查表
8、,即,选取统计量为,查表,2的置信区间为,由公式知2的置信区间为,选取统计量为,例7,解,选取统计量为,五. 两正态总体样本方差比 区间估计,分别是这两个样本的,且X与Y独立,分别是这两个样本的样本修正方差,均值，,对于给定的,选取统计量为,则 的置信度为1 的置信区间为,则 的置信度为1 的置信区间为,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,六、单侧置信区间,于是引入单侧置信区间和置信限
9、的定义：,又若统计量 满足,由于方差 未知，,解： 的点估计取为样本均值,选取统计量为,对给定的置信水平 ，确定分位数,使,即,于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为,将样本值代入得,的置信水平为0.95的单侧置信下限是,1065小时,例9 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时 （单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下 10.5 11.0 11.2 12.5 12.8 假设制造单位产品所需工时,试求平均工时的置信水平为0.95的单侧置信上限.,解 由于,其中,未知,因此,对于给定的, 由,分布的,分位点的定义,存在,使得,而, 所以,即,故,的单侧置信区间为,单侧置信上限为, 经计算得, 由,得,可得单侧置信上限,因此, 加工这种产品的平均工时 不超过12.55小时的可靠程度是95%.,