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1、概率与统计 第十八讲 样本及抽样分布,安徽师范大学数学计算机科学学院 徐林 Email：,第四章 数理统计基本概念,引言 总体与样本 统计中常用的三种分布 抽样分布,引 言,数理统计学是数学的一个重要分支，它研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，并为采取一定的决策和行动提供依据和建议。,几个实际问题：,1. 估计产品寿命问题: 根据用户调查获得某品牌洗衣机50台的使用寿命为，5，5.5，3.5，6.2，。根据这些数据希望得到如下推断： A可否认为产品的平均寿命不低于4年？ B保质期设为多少年，才能保证有95%以上的产品过关？,2商品日投放量问题：如草莓
2、的日投放量多少合理？如何安排银行各营业网点的现金投放量？快餐食品以什么样的速度生产最为合理等等。,例 制衣厂为了合理的确定服装各种尺码的生产比例，需要调查人们身长的分布。现从男性成人人群中随机选取100人,得到他们的身长数据为: (1) 试推断男性成人身长X的概率密度 (2)若已知X服从正态分布N(,2), 试估计参数的,2值,已知“总体”的分布类型,对分布中的未知参数所进行的统计推断属于“参数统计”.,.,数理统计方法的特点,1.数理统计方法的归纳性质 数理统计是数学的一个分支，但是他们在推理方 法上有区别的。数学的方法主要是演绎，而统计 的方法主要是归纳。 例子1 抽烟有害健康问题的证明
3、例子2 证明等腰三角形两底角相等在几何学和统计学上方法是不一样的。,数理统计方法的特点,.,2.数理统计方法得到的结果具有不确定性 数理统计所依据的数据在采集的时候具有随机性，虽然它也可以反映总体的特征，但是有不确定性，这是逻辑的必然。统计学的作用就是提供归纳推理的方法以及计算这种不确定性程度的方法。这种带有不确定性的推断称为统计推断，而不确定的程度可以用概率表示,4.1 随机样本 一、总体与样本,1. 总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。,从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。,2. 样本:来自总体的部分个体X1， ，Xn 如果满足：
4、,（1）同分布性： Xi，i=1,n与总体同分布. （2）独立性： X1， ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。 而称X1， ，Xn 的一次实现为样本观察值，记为x1， ，xn,样本的双重性质,1.在具体的试验实施之前，其结果是未知的，只能预料其取值范围，因此是随机变量，因此才有样本的统计分布，这样才可以谈到统计推断。但是在样本观察之后，样本就是具体的数字。 2.对于理论工作者而言，更应重视样本是随机变量这一事实。,来自总体X的随机样本X1， ，Xn可记为,显然，样本联合分布函数或密度函数为,或,3.总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,？,理论分布,
5、统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体,统计推断,1.,统计推断中的两个问题 非参数统计推断：不知道总体的分布类型 参数统计推断：总体分布类型已知，但是参数位置 参数统计中的两个主要问题：参数估计、假设检验,二、统计量,定义： 称样本X1， ，Xn 的函数 g(X1， ，Xn )是总体X的一个统计量,如果 g(X1， ，Xn )不含未知参数,几个常用的统计量 ：,3.样本k阶矩,4.经验分布函数 用S(x)表示样本X1， ，Xn中不大于x得随机变量个数。定
6、义经验分布函数Fn(x)为,4.2 统计中常用的三种分布,一、 2分布,统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布： 2分布、 t 分布和F分布。,2.2分布的密度函数f(y)曲线,例1：设X1， ，X10是取自N（0，0.32)的样本,求,3. 分位点 设X 2(n)，若对于：01， 存在,满足,则称,为,分布的上分位点。,P220附表3,4.性质： a.分布可加性 若X 2(n1)，Y 2(n2 )， X， Y独立，则 X + Y 2(n1+n2 ) b.期望与方差 若X 2(n)，则 E(X)= n，D(X)=2n,1.构造 若XN(0, 1), Y2(n), X与Y独立，则
7、,t(n)称为自由度为n的t分布。,二、t分布,t(n) 的概率密度为,2.基本性质: (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即,3.分位点 设Tt(n)，若对 :00， 满足PTt(n)=， 则称t(n)为 t(n)的上侧分位点,注:,例2 设 是来自 总体的样本，求随机变量 的分布,三、F分布,1.构造 若U 2(n1)， V2(n2)，U， V独立，则,称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布,其概率密度为,2. F分布的分位点 对于：00， 满足 PFF(n1, n2)=， 则称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；,证明:设FF(n1,n2),则,注：,得证!,4.3 抽样分布,证明:,是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布,(3)证明:,且U与V独立,根据t分布的构造,得证!,例1：设总体XN(10,32), X1， ，Xn是它的一个样本,(1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z11).,例2：设X1， ，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。,