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1、试验设计与设计的准则 刘森茂 数学科学学院 v先从一个简单的试验开始： 生产集成电路的一个初始步骤是产生晶体外 延层。试验中有三个地方需要配置： 感应旋转方法、喷咀位置、沉积温度，每个 地方有两种配置方法。也即有三个因子，每 个因子两个水平。 试验人员希望找出最好的配置，使得产生的 外延层厚度尽可能接近15.4毫米。 v为此，试验人员在每一种可能的设置下（2的 3次方，共8种可能）做5次试验，共40次试 验。 v上述试验叫做“完全因析试验”，我们可以用五 次试验距离目标值差距的平方和作为响应变 量，建立回归模型，并进行方差分析。 v模型方程是： v上述参数叫做回归方程的系数，在试验设计 中，也
2、叫因子的效应。 一般的分析方法： v最小二乘估计 v回归分析中的变量筛选 v正态图、半正态图 vF检验效应是否显著 v根据显著的回归系数确定因子水平 v这个试验有三个因子，每个水平下重复5次， 共有40次试验。但在稍微复杂一点的试验中 ，因子数往往有8-10个，甚至更多，那时即 使没有重复，试验次数也已经数百、上千， 这在很多情形下（如农业试验有很长的周期 ，汽车、机械、核物理等试验则很费钱）是 很不好的。 v这时，流行的做法是选择一个“部分因析试验” 。 v为了引出“部分因析设计”，我们先给前面提到的“效应”做一个严格的定义 。 vA因子的主效应： vA、B因子的交互效应： vA、B、C的三
3、阶交互效应： v“+”是指一个水平，“-”是另一个。”AB+”是指”A+, B+”或”A-, B-”。 v通过与前面的回归模型相对比（回归模型中用最小二乘计算回归系数） ，这里的效应与回归模型中的回归系数只相差一个倍数。 著名的效应三原则： v效应排序原则； 低阶效应比高阶效应更重要； 主效应二阶效应三阶效应 同阶效应同样重要； v效应稀疏原则； 在因析试验中相对重要的因子效应数目是不 多的。 v效应遗传原则； 要使一个交互效应是显著的，至少它的一个亲本因 子是显著的。 若AB交互效应显著，则A和B至少有一个是显著的 。 v基于以上原则，设计界目前广泛使用的是部分因析 试验，以及用MA准则来判
4、断试验是否优良。 v部分因析试验只是完全因析试验的一部分。 v考虑一个简单的试验(参见Box(1961), page5, table3). v我们来看这两个效应：123和4，显然有： 也即，这两个效应“别名”，在记号上有：4=123， 或I=1234（I是单位元），这也称作一个定义对照关 系，也叫定义字。 v对一般的部分因析试验，可能有不只一个定义对照 关系，可以证明，所有的定义对照关系构成一个二 阶可交换群，叫做“定义对照子群”。 v一个 设计，是说它的试验次数是 ，它有k个因 子，它的定义对照子群有 个元素。 MA准则（最小低阶混杂）： v对上面的那个定义字I=BCDE，我们说它的字长度为
5、4，因 为是一个4阶效应与单位效应别名。 v对一个 设计，用 记其定义对照子群中字长为i的字的个 数， v称为一个试验的字长型。 v一个MA设计就是顺次最小化字长型的设计。它所依据的道 理是效应排序原则，因为如果长度较短的定义字比较多， 就意味着低阶效应别名状况比较严重。 v上面讲的都是两水平的情形，对于一般的素数水平 ，理论是相似的。 v为了一般化，前面说的”+”和”-”要改为GF(2)中的0 和1，而一般的素数p水平，就是用GF(p)中的运算 法则。对于素数幂 水平，运用GF( )中的运算。 v但对于一般的数，因为没有对应的有限域，所以无 法构建相应的部分因析设计理论。 v我们做一个罗列：
6、2，3，5，7（素数）；4，8，9 （素数幂），但6不行，而7水平以上的实际试验极 为罕见。 v试验设计大量的成果和论文就是用来寻找MA设计。 v参见Chen, Sun, and Wu(1993)(page816). v用计算机进行搜索在试验次数和因子数比较小的情 形下是可行的，但二者比较大时就变得不可行。 v90以来，学术界开始用编码理论和有限域上的射影 几何来寻找MA设计。 v其他方法还有“补设计”和“最大偶设计的补设计”等。 其他设计准则： vMA设计准则很直观，也很简洁，但它是不是最好的 ？ v我们引入两个基本的概念： 一般可以认为，主效应和二阶交互效应是应该考虑 的，最多在某些时候考
7、虑一下三阶交互效应，三阶 以上是应该忽略的。 v一个主效应或二因子交互效应如果不与其他主效应 或二因子交互效应别名，那么我们称这个主效应（ 或二因子交互效应）是纯净的。 v一个纯净的效应如果也不与任何三阶交互效应别名 ，则称它是强纯净的。 v一个新的设计准则就是：那些拥有最多纯净效应的设计是最 优的。 v两个准则的区别与联系： v在试验次数和因子数都不太大的情形下，二者大多数是一致 的，但随着试验次数和因子数的增大，二者的分歧越来越大 。 v我们考虑一个例子： v考虑两个 设计： v（1）I=1235=1246=3456 v（2）I=125=1346=23456 v字长型分别为： （0，3，0
8、，0）和（1，1，1，0 ），因此从MA准则的角度考虑，设计（1）比设计 （2）优良。 v但设计（1）没有纯净的二因子交互作用，而设计 （2）有6个，所以在某些场合设计（2）优于设计 （1），设计（2）的缺点在于它纯净的主效应只有 三个。 v这两个准则各有优劣，应该使用哪个应视具体情况 而定。 GMC准则 v这个准则的形式很复杂，要表述清楚都需要 很多新的定义和细节。它的思想是全面考虑 所有效应之间的别名关系，给出一个复杂的 数组，然后顺次最小化这个数组，注意MA设 计也是顺次最小化一个数组字长型。 v但这个准则却是一个最一般化的情形，MA准 则和最多纯净效应个数准则都是它的变种或 子集。 v但关于这个准则下的最优设计研究也是进展 缓慢。 v一些成果可以参见Zhang, Mukerjee(2007) 和 Li, Zhao and Zhang(2008)，这两篇也只是在 某些情形寻找到了最优设计。