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1、利用空间向量解决立体几何问题,数学专题二,学习提纲,二、立体几何问题的类型及解法,1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。,1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。,一、引入两个重要空间向量,1、直线的方向向量 2、平面的法向量,空间中的两个重要向量,A,P,直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量,直线的方向向量的理解 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z
2、1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,2、平面的法向量,l,平面 的向量式方程,换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量,平面的法向量的理解,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.,n,例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 直线OA的一个方向向量坐标为_ 平面OABC 的一个法向量坐标为_ 平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),例2 (1)设 分别是直线 的方向向量,根据下列条件判断 与 的位置关系: ,分析:直线方向向量与直线位置关系, 据此可判断两直
3、线的位置关系,平行垂直相交或异面,例1 (2)设 分别是平面 的法向量,根据下列条件判断 与 的位置关系: ,分析:平面法向量与两平面位置关系, 据此可判断两平面的位置关系,垂直平行相交(不垂直),例2 (2)设 分别是平面 的法向量,根据下列条件判断 与 的位置关系: ,分析:直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系, 据此可判断直线和平面的位置关系,例2 (3)设 是平面 的法向量, 是直线 的方向向量,根据下列条件判断 与 的位置关系: , 垂直相交(斜交),例4 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.,解: A(
4、1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) 设平面 的法向量是 依题意,有 ,即 解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2 平面 的一个法向量是,求平面的法向量的坐标的一般步骤:,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：,所以,巩固性训练,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,垂直,平行,相交,2.设 分别是平面 的法向量,根据下列条件,判断 的位置关系.,3、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 ,则 k= . 4、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 5、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .,