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1、第四章 函数应用,理解教材新知,2 实际问题的函数建模,把握热点考向,应用创新演练,考点一,考点二,考点三,知识点一,知识点二,在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键怎样选择恰当的函数模型呢？ 问题1：在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？ 提示：指数函数模型,问题2：在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？ 提示：二次函数模型 问题3：在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震级M，使用的是什么样的函数模型？ 提示：对数函数模型,常用到的函数模型： (1)正比例函
2、数模型： ； (2)反比例函数模型： ； (3)一次函数模型： ； (4)二次函数模型： ； (5)指数函数模型：ymaxb(a0，且a1，m0)； (6)对数函数模型：ymlogaxc(m0，a0，且a1)； (7)幂函数模型：ykxnb(k0).,ykx(k0),ykxb(k0),yax2bxc(a0),某公司拟投资100万元获利，打算5年后收回本金和利息，有两种获利方式可供选择：一种是年利率10%按单利计算；另一种是年利率9%按每年复利一次计算 问题1：按单利(每年的本金不变，均为最初的投资)计算，5年后收回的本金和利息是多少？ 提示：100(110%5)150(万元),问题2：按复利(
3、今年的本金和利息全作为明年的本金)计算，5年后收回的本金和利息是多少？ 提示： 100(19%)5153.86(万元) 问题3：该公司应该选择哪种方式投资？ 提示：第二种按复利投资,用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程,1函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普遍存在的实际问题进行归纳加工，运用函数的方法进行求解，最后实际问题得以解决 2解函数应用问题的步骤,例1 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条拆线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示
4、,(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式Pf(t)； 写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Qg(t) (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天) 思路点拨 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题,一点通 处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数,1某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：
5、 这种服装每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)可 看成是一次函数关系：t3x204. (1)写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价 x之间的函数关系式(销售利润是指所卖出服装的销售价 与购进价的差)； (2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想 每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为 合适？最大销售利润为多少？,解：(1)由题意，销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系为：y(x42)(3x204)， 即y3x2330x8 568； (2)配方，得y3(x55)2507. 当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元,2甲、乙两人连续
6、6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产 量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图,甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只 乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个 请你根据提供的信息说明： (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数； (2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模最大？说明理由,例2 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y(亿) (1)求y与x的函数关系式yf(x)； (2)求函数yf(x)的定义域； (3)判断函数f(x)是
7、增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义 思路点拨 先根据增长率的意义列出y与x的函数关系式,精解详析 (1)1999年底人口数：13亿 经过1年，2000年底人口数： 13131%13(11%)(亿) 经过2年，2001年底人口数： 13(11%)13(11%)1% 13(11%)2(亿),经过3年，2002年底人口数： 13(11%)213(11%)21% 13(11%)3(亿) 经过年数与(11%)的指数相同 经过x年后人口数：13(11%)x(亿) yf(x)13(11%)x.,(2)此问题以年作为单位时间 xN是此函数的定义域 (3)yf(x)13(11%)x. 11%1,130，
8、 yf(x)13(1%)x是增函数， 即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长,一点通 1指数函数模型：能用指数函数表示的函数模型叫做指数函数模型指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a1)，常形象地称之为指数爆炸 2对数函数模型：能用对数函数表示的函数模型叫对数函数模型对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a1)，函数值增大的速度越来越慢 注意：(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型 (2)平均增长(或减少)率问题的表示：ya(1p%)x(或y a(1p%)x),320世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小 的尺度，就是使用测震仪衡
9、量地震能量的等级，地震 能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这 就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M lgA lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅,(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级； (2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？,例3 某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：,该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少才最合算请你帮
10、助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字) 思路点拨 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型,精解详析 设投资额为x万元时， 获得的利润为y万元在直角坐标系中 画出散点图并依次连接各点，如图所示， 观察散点图可知图像接近直线和抛物线， 因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系,设二次函数的解析式为ya(x4)22(a0)； 一次函数的解析式为ybx. 把x1，y0.65代入ya(x4)22(a0)， 得0.65
11、a(14)22，解得a0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y0.15(x4)22表示,把x4，y1代入ybx，得b0.25， 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y0.25x表示 令下月投入A、B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得 WyAyB0.15(xA4)220.25xB， 其中xAxB12.,一点通 此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为： (1)作图：根据已知数据作出散点图； (2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形
12、状，找出比较接近的函数模型； (3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式； (4)利用所求得的函数模型解决问题,518世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、 火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：,他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？,解：由数值对应表作散点图如图,6某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中 发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如 下关系(见下表)：,(1)在所给的坐标
13、系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式yf(x)；,(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写 出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元 时，才能获得最大日销售利润？,解：(1)根据上表作图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)它们近似在同一条直线上，设直线,(2)依题意有Py(x30) (3x150)(x30) 3(x40)2300， 当x40时，P有最大值300. 故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润,1选择函数模型时，要让函数的性质、图像与所解决的问题基本吻合根据散点图猜想函数模型，通过待定系数法求模拟函数的解析式，再通过数据验证,2.解函数应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系. （2）建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型. （3）求模：求解数学模型，得到数学结论. （4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题.,3函数拟合问题 对于此类实际应用问题，首先是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题,点击下列图片进入应用创新演练,