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1、,1.4 条件概率、全概率公式和贝叶 斯公式,一、条件概率 简单地说，条件概率就是在一定附加条件之下的事件概率. 从广义上看，任何概率都是条件概率，因为任何事件都产生于一定条件下的试验或观察，但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某事件发生了”,定义1.2 设A和B为两个事件， ，那么，在“B已发生”的条件下，A发生的条件概率 定义为 . （1-10） 在具体计算 时，可以用公式（1-10）的右端来求，也可以像刚才的例子那样，直接从缩小了的样本空间来求，后一种求法有时更方便、实用.,从条件概率的定义，不难验证条件概率具有以下性质（习题一的第23
2、题）： （1） （2） 但是，需要注意，一般地 , . 条件概率的一个重要应用便是下面的乘法公式.,二、乘法公式,根据（1-10），当 或 时，立即有 或 . (1-11) 这就是概率的乘法公式，它在计算复杂事件的概率时十分有用. 乘法公式（1-11）还可推广到多个事件的情形，如 时，有,我们看到，运用乘法公式求复杂事件的概率时，关键在于如何将事件依次划分成适当事件之积，使得前面事件都发生的条件下后一事件发生的条件概率便于计算. 关于复杂事件概率的计算方法，除乘法公式外，下面还有一个更重要的公式,三、全概率公式,设事件组 互斥 且 , 则对任一事件B， , （1-12） 称此式为全概率公式.
3、由全概率公式可知，在计算复杂事件B的概率时，只要能找到一组适当的、互斥简单事件 使它们的和事件是必然事件,并且 和 （ ）易于计算，那么， 的计算就可简化. 在公式（1-10）、（1-11）和（1-12）的条件下，若，则立即有 ， （1-13） 上式称为贝叶斯公式以纪念英国统计学家贝叶斯 （T. Bayes）对概率论的贡献.,四、贝叶斯公式,这一公式最早发表于1763年，当时贝叶斯已经去世，其结果没有受到应有的重视. 后来，人们才逐渐认识到了这个著名概率公式的重要性. 现在，贝叶斯公式以及根据它发展起来的贝叶斯统计已成为机器学习、人工智能、知识发现等领域的重要工具. 贝叶斯公式给出了结果事件B已发生的条件下，原因事件 的条件概率 从这个意义上讲，它是一个“执果索因”的条件概率计算公式.相对于事件B而言 ，概,率论中把称为先验概率（PriorProbability） ，而把称为后验概率 （Posterior Probability），这是在已有附加信息（即事件B已发生）之后对事件发生的可能性做出的重新认识，体现了已有信息带来的知识更新.,