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1、庞加莱猜想的提出和解决,四川师范大学数学与软件科学学院 张 红,什么是庞加莱猜想,庞加莱在1904年提出这一猜想的：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。,庞加莱（HenriPoincar） 法国数学家 “最后一位数学全才”,最
2、后一位数学全才庞加莱,在庞加莱留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的 “庞加莱猜想”,一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利庞加莱（Henri Poincare）: “有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。,猜想的简单比喻,想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。 不
3、妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。 继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。,庞加莱猜想的三维电脑模型,另一个简单比喻,如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以
4、既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点； 另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。 为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。,庞加莱猜想图示,庞加莱猜想七个“千禧难题”之一,七个千禧难题：2000年美国克莱数学研究所 1.NP完全问题， 2.霍奇猜想（Hodge）， 3.黎曼假设（Riemann）， 4.杨米尔斯理论（Yang-Mills）， 5.纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程）， 6.BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。
5、7.庞加莱猜想,解决庞加莱猜想的意义,假设你完全不知道地球的地理情况,你一次又一次派出远征的船队,这些船队接连发现新的大陆。直到已知大陆的数量增长到六块。可是你并不知道这是否就是地球上所有的大陆了。你继续派出船队,前前后后出征了几百次,但是他们没有再发现任何新的大陆。这时你提出一个猜想:地球上没有更多的大陆了。 这个猜想看起来很合理,但是它仍需要论证。这时,佩雷尔曼出现了,他用完美的严密方式向你和全世界证明,地球上确实没有更多的大陆了。 俄罗斯数学家米哈伊尔格罗莫夫 (MikhailGromov)的一个比方,解决庞加莱猜想的意义,“庞加莱猜想是拓扑和几何的主流，被国际上许多数学家所关注，并致力
6、于研究。破解和封顶的意义是十分深远的”。 “哥德巴赫猜想很重要，但是庞加莱猜想更重要，国内研究哥德巴赫猜想的人很多，但国际上很少，知道的人也很少。” 丘成桐,丘成桐，哈佛大学 教授，菲尔茨奖得主 。 研究领域：分析几何,解决庞加莱猜想的意义,“分析一个猜想或者难题重不重要，关键要看它的破解，会不会带动其他研究的发展。” 哥德巴赫猜想“很漂亮”，却是一个相对孤立的命题，就是破解也不会对其他研究产生太大推动作用。 丘成桐,解决庞加莱猜想的意义,哥德巴赫猜想是数论中的难题，但是并未被列入“七大世纪数学难题”。而在这七大难题之中，数论领域就有两个。“这至少说明，它不是数论领域最重要的难题。” “陈景润
7、的工作很重要，也做到了极致。但是和庞加莱猜想比起来，还是要弱一些。” 丘成桐,佩雷尔曼的出生与成长,佩雷尔曼1966年出生于苏联的一个犹太人家庭,他的母亲是大学里的数学教师。这似乎为他数学天分的发展提供了一个有利条件,但苏联社会中广泛存在反犹太主义也为佩雷尔曼的成长与生活构造了残酷的环境。 如何向孩子讲述生活的残酷,是常常会令家长头疼的问题。佩雷尔曼的母亲选择了一种特别的方式她把自己头脑中的正确世界当作真实的世界告诉年幼的佩雷尔曼。,佩雷尔曼,小佩雷尔曼生活在一个母亲帮助下建立起来的想象世界中,除了数学,几乎没有其他东西。,佩雷尔曼的特点,社会生活中模糊的变数是佩雷尔曼所难以理解的,这一点在他
8、年幼时就已经形成。 他的数学俱乐部老师鲁克辛(SergeyRukshin)每周会有两个晚上与佩雷尔曼同路乘火车回家。冬天的时候,佩雷尔曼会戴着一顶苏联样式的皮帽子,帽子在耳朵的部位有两块皮子,用绳子系紧之后能够防止耳朵受冻。鲁克辛发现,即便在温暖的车厢里,佩雷尔曼也从不解开绳子。“他不仅是不会摘掉帽子,”鲁克辛在一本书中说,“他甚至不会解开帽子的耳朵,他说不然的话妈妈会杀了他,因为妈妈说了,不要解开绳子,不然就会感冒。”,佩雷尔曼的特点,鲁克辛曾经批评佩雷尔曼读书不够多,他认为他的职责不单是教孩子们数学,还要包括文学和音乐。佩雷尔曼就问鲁克辛,为什么要读那些文学书。鲁克辛告诉他,因为这些书是“
9、有趣的”,而佩雷尔曼的回答是,需要读的书应该都列在学校的必读书单上了。,真正的因材施教,佩雷尔曼就读的列宁格勒的239号专业数学学校是数学家安德雷柯尔莫格洛夫(AndreiKolmogorov)创办的一所学校,这里的数学教育与普通高中里的不同,它一方面教授现实研究当中的数学, 一方面也根据不同学生的背景施教。它也是苏联高中里惟一教授古代历史课程的学校。学生在这里还会接触到音乐、诗歌、视觉艺术、古俄国建筑的知识。但这里并没有苏联学校里普遍开设的其他社会科学课。,佩雷尔曼的理想世界,在老师和学校为他创造的微环境当中,佩雷尔曼与真实的世界始终保持隔绝,他自己的世界也就得到了保护和延续。与其他数学专长
10、的年轻人坐在一起上课的时候,佩雷尔曼总是坐在后排。他一语不发,只有当发现某个人的解法或解释需要订正时才说话,而且总是一锤定音。也许很多时候,课堂上讲授的内容对佩雷尔曼毫无用处,但他也会静静地听着,他从来就是一个礼貌的人,因为规矩就是规矩。,佩雷尔曼的行事特点,佩雷尔曼的另一条行事原则是,必须讲出完整的事实,不然的话,他便可能认为那是政治。在参加全苏联数学竞赛的时候,每个学生会被发给一道题目,谁解出来了便对老师举手示意,然后老师把他带到教室外面。他把解法讲给老师,如果正确,老师就会发给他下一道题,如果错误,就继续回去做这道题。最终的胜负是看谁在规定时间内解出的题目最多。,佩雷尔曼的行事特点,有一
11、次,佩雷尔曼解出了题目,老师把他叫到外面,他向老师解释一番之后,老师说了句“正确”便要转身回教室。可佩雷尔曼却把老师叫住,他说,这道题还有另外三种可能的结果!他坚持要把所有的可能性告诉老师,即便这样做对于数学竞赛来说等于是浪费时间。,数学奥林匹克竞赛与资优生,到了中学的最后一年时,佩雷尔曼已经在全苏联数学奥林匹克竞赛中赢得了一块金牌和一块银牌,并最终在1982年的国际数学奥林匹克竞赛中以42分的满分拿到了金牌。 _这是他迄今接受的唯一奖项 _这个成绩至今都没被别人超越,获奖1个月后，这个数学神童接到了美国大学的邀请，他们为他提供了一套住房和丰厚的奖学金。美国人当时就明白，这个天才有着不可限量的
12、未来。但他最终拒绝了美国人的邀请。中学毕业后，佩雷尔曼免试进入列宁格勒大学数学系。,1995年，他拒绝斯坦福大学等一批美国著名学府的邀请； 1996年，他拒绝接受欧洲数学学会颁发的杰出青年数学家奖。,佩雷尔曼独立特性的生活习惯,佩雷尔曼似乎永远都穿同一件衣服,胡子拉碴,不剪指甲他认为这样才是指甲的自然状态。他的食物只有面包和酸奶。美国的面包对他来说可能并不好吃,好在他找到了一家售卖正宗俄罗斯面包的商店,经常步行一段距离到那里买面包。所以,他没有什么地方需要开销,他把所有的津贴都留在银行里(这为他存了一笔钱,保证后来的一段时间里他能在俄罗斯温饱无忧)。,佩雷尔曼的亲人和朋友,佩雷尔曼一辈子都没有
13、离开过他的母亲。在纽约做博士后期间,他的母亲随他来到美国,住在布鲁克林,照顾佩雷尔曼的日常生活。我们不知道佩雷尔曼在他的一生中有过多少个朋友,但可以肯定的是,数量非常少。在纽约大学期间,他难得地交到了一个朋友。佩雷尔曼的老师维克托查加勒(ViktorZalgaller)非常肯定这一点。他的这位朋友就是田刚,现在的普林斯顿大学和北京大学数学教授。,佩雷尔曼拒绝菲尔兹奖,2006年,因为解决庞加莱猜想的工作， 国际数学联合会决定授予佩雷尔曼菲尔兹奖。这是数学界的最高奖项,有人称它为数学界的诺贝尔奖。佩雷尔曼拒绝了。,菲尔兹奖（奖金1.5万）,“超越人类极限， 做宇宙主人”,全世界的数学家们：为知识
14、 作出新的贡献而自豪,试图说服佩雷尔曼领奖未果,国际数学联合会主席约翰保尔(JohnBall)飞去圣彼得堡,试图说服佩雷尔曼领奖。这是菲尔兹奖历史上没有出现过的情况,联合会主席竟然要亲自去说服一个获奖者接受这个奖项。他与佩雷尔曼交谈了数个小时,他向佩雷尔曼提供了几套方案,包括佩雷尔曼不必出席会议,他们把奖章送到圣彼得堡来。但是佩雷尔曼拒绝了。,获菲尔茨奖的其他数学家,2006年,与佩雷尔曼一同获奖的还包括俄罗斯数学家安德雷欧克恩科夫(AndreiOkounkov)、 美国加州大学的数学家陶哲轩、法国数学家 温德林沃纳(WendelinWerner)。佩雷尔曼可能认为这些数学家所做的工作与他并不
15、在一个层次上,所以不愿与他们并列。,关于庞加莱猜想中国数学家的工作,中国数学家曹怀东和朱熹平是摩根和田刚之外的另一个验证佩雷尔曼证明的团队。他们在2006年发表了一篇三百多页的论文,给出庞加莱猜想的完整证明。丘成桐随后在中国大陆召开记者会,宣布了这一消息。,“ 佩雷尔曼完全应当获得菲尔兹奖。我们只是跟着佩雷尔曼和汉密尔顿的脚步，解释了证明的细节。” 曹怀东,千禧奖设置背景,2000年,克雷数学研究所宣布了七个“千年难题”,并承诺有人解决任何一个难题,就奖励一百万美元。其实在所长詹姆斯卡尔森(JamesCarlson)看来,此举的噱头意义更大,他只是想通过这样的方式来激发人们对数学的关注,并没有
16、指望这些问题中的任何一个能够在他的有生之年中得到解决,也没想到百万美元真的能够发出去。,他完全没有料到的是,几年之后,佩雷尔曼就解决了其中的一个。 同时,佩雷尔曼也为卡尔森出了道难题:佩雷尔曼不答应领奖。,卡尔森的努力,于是,卡尔森像保尔那样也飞去了圣彼得堡。但是他没有保尔那样的运气佩雷尔曼没有与他见面。他通过电话与佩雷尔曼交谈,怀着一线希望,希望佩雷尔曼能够接受这一百万美元。佩雷尔曼静静地听他讲。佩雷尔曼一直是一个有礼貌的人。最后佩雷尔曼告诉卡尔森,他需要考虑一下,如果决定领奖,会第一时间通知克雷研究所的。 现在看来,佩雷尔曼的回答只是出于礼貌,他从一开始就没有打算去领奖。,威廉瑟斯顿对佩雷尔曼的评价,“佩雷尔曼对公共场面和财富的厌恶令许多人迷惑不解。”美国康奈尔大学数学家威廉瑟斯顿(WilliamThurston)在颁奖仪式上说,“我没有跟他讨论过这个问题,也不能代表他发言,但是我想说,我对他内心的强大与清晰感到共鸣和敬仰。他能够了解和坚持真实。我们真实的需求位于内心深处,然而现代社会中的我们大多在条件反射式地不断地追逐财富、消费品和虚荣。我们在数学上从佩雷尔曼那里学到了东西。或许我们也应该暂停脚步,从佩雷尔曼对生活的态度上反思自己。”,