统计学4章ppt课件.ppt

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1、第四章 综合指标,（描述统计）,2019/8/1,第四章 总量指标,2,第一节 总量（Amounts）指标的度量,一、总量指标的意义 总量指标的含义： 总量指标又称统计绝对数，它是反映社会经济现象发展的总规模、总水平和工作总量的综合指标。 总量指标的数值大小与统计范围的大小成正比。 是最基本的统计指标。,2019/8/1,第四章 总量指标,3,2、总量指标的作用,总量指标是对社会经济现象总体认识的起点。 总量指标是国家编制发展规划、实施宏观经济调控，企业进行经营决策的主要依据。 总量指标是用来计算相对指标和平均指标的基础。,2019/8/1,第四章 总量指标,4,二、总量指标的种类,（一）按总

2、量指标反映总体内容的不同分 总体单位总量：是指总体内所有单位的数量。 总体标志总量：总体中各单位标志值的总和。在一个特定的总体内，只能存在一个单位总量，而可以同时并存多个标志总量，构成一个总量指标体系。,2019/8/1,第四章 总量指标,5,（二）按反映时间性质不同分,1、时期指标： 指反映某种社会经济现象在一段时间内连续变动结果的总量指标，时期指标是一个流量。 时期指标的三个特点： 时期指标可以累计 时期指标数值大小与时期长短有直接关系 时期指标的数值一般为连续登记,2019/8/1,第四章 总量指标,6,2、时点指标,时点指标又叫存量指标，是指反映社会经济现象在某一时点上的总量指标，时点

3、指标是一个存量。 时点指标的三个特点： 不同时点指标数值是不能累加 时点指标数值大小与时点间隔长短无直接关系 时点指标只能间断计数,2019/8/1,第四章 总量指标,7,三、总量指标的计量单位,1实物单位 根据客观现象的属性而采用的计量单位。 实物单位有自然单位、度量衡单位、复合单位、双重单位和标准实物单位等。 用实物单位计量的总量指标也称实物指标。 实物指标的特点是能直接反映产品的使用价值或现象的具体内容。,2019/8/1,第四章 总量指标,8,2价值单位,是以货币单位计量的单位标。 价值指标的最大特点在于它的综合性。 价值指标也有一定的局限性，它脱离了物质内容，具有抽象性。 价值指标也

4、容易受价格的影响。,2019/8/1,第四章 总量指标,9,3劳动量单位,劳动量单位是以劳动时间表示的单位计量。 常用的劳动时间单位有工时、工日等。 一个工人做一小时工叫做一个工时，八个工时等于一个工日。,2019/8/1,第四章 总量指标,10,四、总量指标的计算方法,1、直接计量法 2、推算法 3、专家估算法,2019/8/1,第四章 总量指标,11,五、计算和应用总量指标应注意的问题,1、要明确指标涵义，界定统计范围。 2、要注意现象的同质性，正确使用计量单位。 3、计算总量指标必须注意计量单位的统一性，特别是实物指标。,2019/8/1,第四章 总量指标,12,第二节 相对指标的度量（

5、对比分析）,一、相对指标的概念 1、相对指标的含义 相对指标又称统计相对数。 它是两个有联系的现象变量的比率或比例，用以反映现象的发展程度、速度、结构、强度、普遍程度或比例关系等。 相对指标可以用两个绝对数对比计算，也可以用两个相对数、两个平均数对比计算。,2019/8/1,第四章 总量指标,13,2、运用相对指标的基本要求,对比的两个指标要有可比性。 指标的可比性就是两个对比的指标具有相同的类型或有着密切的联系，对比的结果要满足统计分析的要求。,2019/8/1,第四章 总量指标,14,3、相对指标的作用,进行对比分析。 相对指标为人们深入认识事物发展的质量与状况提供了客观依据。 运用相对指

6、标可以使不能直接对比的现象找到对比的基础。使不同时期、不同空间的数值进行对比。,2019/8/1,第四章 总量指标,15,二、相对指标的表现形式,相对指标的表现形式主要包括无名数和有名数。 无名数：多以系数、倍数、成数、百分数和千分数等表示 有名数：如公斤/人，元/人，人/平方公里等。有名数主要是相对强度指标。,2019/8/1,第四章 总量指标,16,三、相对指标的种类及计算方法,相对指标按所反映的时空关系不同可分为三类： 静态相对指标 动态相对指标 计划完成程度相对指标,2019/8/1,第四章 总量指标,17,（一）静态相对指标,1结构相对指标 结构相对指标表明总体内部各个组成部分在总体

7、中占的比重。俗称比重 。 计算公式：,2019/8/1,第四章 总量指标,18,例：结构相对指标计算,19982003年我国轻重工业结构,2019/8/1,第四章 总量指标,19,2比例相对指标,比例相对指标是总体内不同部分数量对比计算的相对数，用以分析总体内各个组成部分之间的比例关系和协调平衡状况。比例相对指标简称比例。 比例相对指标可以用绝对数对比，也可以用相对数、平均数对比。 其计算公式如下：,分子与分母 可以互换,2019/8/1,第四章 总量指标,20,例：比例相对指标计算,19982003年我国轻重工业结构,2019/8/1,第四章 总量指标,21,结构相对指标与比例相对指标的关系

8、,2019/8/1,第四章 总量指标,22,3比较相对指标,比较相对指标是两个同类总体的同类指标在不同地区、部门、单位之间的对比。 计算公式：,分子与分母 可以互换,2019/8/1,第四章 总量指标,23,注意点：,两个同类指标的指标涵义、口径范围、计算方法、计量单位、所属时间应一致。 比较相对指标可以用用百分比来表示；也可以用倍数来表示。 计算比较相对指标，可以用绝对数对比，也可以用相对数、平均数对比。比较相对指标的分子与分母可以互换。,2019/8/1,第四章 总量指标,24,例比较相对指标计算,2008年A城市的GDP为1250亿元，B城市的GDP为980亿元。 比较相对指标：1250

9、/980=1.28或980/1250=0.784 A城市GDP为B城市GDP的1.28倍或128%。或B城市GDP是A城市GDP的78.4%。,2019/8/1,第四章 总量指标,25,4强度相对指标,强度相对指标是两个性质不同但有一定联系的总量指标对比计算的相对数，用来表明一种现象在另一种现象中的发展强度、密度和普遍程度。 计算公式：,注意与平均数的区别,不一定是同一总体的,2019/8/1,第四章 总量指标,26,注意点：,一是两个对比的指标一般是总量指标 二是这两个不同类的指标是有一定社会经济联系的。 强度相对指标一般以有名数表示。 有些强度相对指标的分子与分母可以互换，这时，强度相对指

10、标有正指标、逆指标之分。如：用水量/万元产值 与平均数不同。,2019/8/1,第四章 总量指标,27,例强度相对指标计算,2003年我国的GDP为117 251.9亿元，钢产量为22 233.6万吨，人口平均数为128840万人。 则： 人均GDP：9100.5元 人均钢铁产量：172.6千克,不是平均数。 为什么？,2019/8/1,第四章 总量指标,28,（二）动态相对指标,动态相对指标又称发展速度，它是某现象在两个不同时期或不同时点的指标数值之比，反映现象在不同时间的发展变化情况。 计算公式：,2019/8/1,第四章 总量指标,29,注意点：,作为比较基础的时期，称为“基期”。可以是

11、前期，也可以是报告期前的任何一期。 研究的时期，称为“报告期”。 动态相对指标一般用百分数、倍数表示。,2019/8/1,第四章 总量指标,30,例动态相对指标计算,某市2003年末职工人数为141.94万人，2004年末职工人数为142.86万人。 则： 2004年末是2003年末的：100.65% 或1.0065倍,2019/8/1,第四章 总量指标,31,（三）计划完成程度相对指标,计划完成程度相对指标是现象在一定时期内或时点上实际完成数与计划数对比计算的相对数，用来检查、监督计划执行情况。 基本计算公式：,分子与分母不能互换,2019/8/1,第四章 总量指标,32,注意点：,式中字母

12、下标1表示报告期；下标 n 表示计划期。 该公式的分子与分母不能对换，且是同类指标，其涵义、口径、计算方法应完全一致。 实际完成数与发展速度的报告期水平是同义的。 与发展速度相比是有区别的。 实际完成数和计划数可以采用绝对数，也可以采用相对数和平均数。,2019/8/1,第四章 总量指标,33,1计划任务采用绝对数形式表现,用来进行短期计划执行情况检查分析 第一种情况：计划任务已经完成，即实际完成数与计划数属于同一时期且长度相等。则直接采用以上所列的基本公式计算。 第二种情况：计划任务还未完成，则采用以下公式计算：,2019/8/1,第四章 总量指标,34,例计划完成程度的计算,某公司某年一二

13、季度产资料,2019/8/1,第四章 总量指标,35,2计划任务采用相对数形式表现,计划任务有时用相对数表示，即将“计划为上年百分数”作为计划数。其计算公式:,2019/8/1,第四章 总量指标,36,例计划任务用相对数表示,例1：某企业2010年的计划产量是2009年的105%,2010年实际产值是2009年的110%。 则： 2010年计划完成程度=110% 105%=104.8% 即超额4.8%完成。 例2：某企业2010年的计划劳动生产率比2009年提高10%,而2010年实际比2009年提高的16%。 则：计划完成程度=（100%+16%） （100%+10%）=105.5%,201

14、9/8/1,第四章 总量指标,37,3、计划任务采用平均数形式表现,计算公式：,2019/8/1,第四章 总量指标,38,4长期计划完成程度的计算,（1）水平法 水平法就是用末年实际水平与计划规定水平对比，来检查长期计划的完成情况。 水平法适用于检查有明显递增或递减的现象，反映年度生产力发展水平。 只要连续12个月（可以跨年度）即一个时间达到计划末年水平，就算完成计划。 计算公式：,2019/8/1,第四章 总量指标,39,举例：水平法,“十一五”规划：2010年煤炭年产量达到5000万吨。实际完成情况如下表：（单位：万吨）,注：2010年第一季度前的四个季度的累计量已达5000，说明五年计划

15、提前三个季度完成。,2019/8/1,第四章 总量指标,40,（2）累计法,计算公式： 累计法适用于计划期内各年度发展趋势不稳定的现象，可以反映现象的累计发展水平。 例：某地区“十五”期间规定五年累计造林3000亩，而实际完成3150亩。则五个完成105%。,如何确定提前完成时间？,2019/8/1,第四章 总量指标,41,三、计算和应用相对指标应注意的问题,1、正确选择对比的基数 2、注意分子与分母的可比性 3、应把相对数与绝对数结合起来使用 4、应综合多个相对数进行分析研究,2019/8/1,第四章 总量指标,42,第三节 集中趋势的度量,一、测定集中趋势的意义 1、集中趋势的含义 集中是

16、指数据向中心靠拢的意思，集中趋势也称中心位置。 统计数据的集中趋势是指数据向其中心靠拢或集中的程度。 测定集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值。 集中趋势的描述是统计数据描述的重要内容。,2019/8/1,第四章 总量指标,43,2、测定集中趋势的作用,反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平 比较同类现象在不同单位的发展水平。 比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律。 分析现象之间的依存关系：因为不能取现象的某个具体值，而必须采纳其代表值。 集中趋势的指标经常被作为评价事物和决策的标准或参考。,2019/8/1,第四章 总量指标,44,3、测定集中趋势的指标类型,（从初级到高级）

17、位置代表值：众数、中位数 数值平均数：算术平均数、调和平均数、几何平均数,2019/8/1,第四章 总量指标,45,二、数值平均数（Mean 或Average）,数值平均数，又称均值。 数值平均数包括算术平均数、调和平均数、几何平均数。 算术平均数是最常用的数值平均数。,2019/8/1,第四章 总量指标,46,（一）算术平均数（均值） （Arithmetic Mean）,1、算术平均数的基本公式,注意点： 分子与分母必须属于同一个总体。 分子与分母有一一对应的数量关系，即分母量是分子量的标志承担者。,注意与强度相对数的区别,前提是变量具有相加性。,2019/8/1,第四章 总量指标,47,2

18、简单算术平均数,简单算术平均数适用于总体单位数少，未对数据进行分组，而且已知各单位标志值数量的情况下。 计算公式：,例：某生产班组8个工人日加工零件数分别为：22，23，24，25，27，28，29，30，则工人的平均日加工零件数为：26件/人。,2019/8/1,第四章 总量指标,48,3加权算术平均数(weighted mean),加权算术平均数主要适合于数据已分组，且编出次数分布的条件下。 加权算术平均数的计算公式：,式中： f 为标志值出现的次数；f /f 为标志值出现的频率。,2019/8/1,第四章 总量指标,49,注意：,次数和频率在加权算术平均数中专称权数。 权数越大，该权数所

19、对应的标志值对平均数的影响也越大；权数越小，该权数所对应的标志值对平均数的影响也越小。 f /f 这个因子在不同场合的名称，在统计分组时叫频率；在相对指标和因素分析中叫结构、构成或比重；在平均指标中称权数；在抽样推断中又叫随机变量的概率。,2019/8/1,第四章 总量指标,50,（1）单项式变量数列的加权算术平均数,某企业工人按日产量分组表,平均日产量 = 9.4 件,2019/8/1,第四章 总量指标,51,（2）组距式变量数列的加权算术平均数,应先计算出每组的组中值，将组距数列化成单项数列 然后用上法计算加权平均数。,2019/8/1,第四章 总量指标,52,某班学生统计学考试成绩,平均

20、成绩 = 72.5 分,思考：平均分以上的学生人数如何计算？,2019/8/1,第四章 总量指标,53,（3）加权算术平均数的权数选择原则,各组标志值各组单位数=各组标志总量 该等式必须有实际经济意义，即权数必须是标志值的直接承担者，权数与标志值的乘积要具有标志总量的意义。 符合上述条件，各组单位数才是加权算术平均数的合适权数。,2019/8/1,第四章 总量指标,54,例：某公司资金利润率资料,注：本例中，企业家数不作为权数，只能用资金额作权数。 平均资金利润率 = 18.65 %,2019/8/1,第四章 总量指标,55,（4）是非标志的平均数,成数（ p ）：是指具有某种特征的单位数在总

21、体中所占的比重。 通常将具有某种特征的单位用“是”表示，并赋予单位标志值1；将具不有某种特征的单位用“非”表示，并赋予单位标志值0。,2019/8/1,第四章 总量指标,56,则是非标志的加权算术平均数为：,式中：p + q = 1 统计量 说明每个总体单位平均具有某种特征的程度。,统计量,成数,2019/8/1,第四章 总量指标,57,例：是非标志的平均数计算,某产品102万件，某中合格品84.26万件，不合格品15.74万件，求该产品的合格率。,2019/8/1,第四章 总量指标,58,（二）调和平均数,调和平均数是标志值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数，一般用 H 表示。 它仅适合

22、于计算相对数、平均数的平均数。 包括：简单调和平均数和加权调和平均数两种形式。,不具有相加性。,2019/8/1,第四章 总量指标,59,1、调和平均数的计算公式,简单调和平均数： 加权调和平均数：,式中：m = xf ，是结合了各组标志值与对应的次数而形成的各组标志值总量。m是总体的标志总量。,2019/8/1,第四章 总量指标,60,2、相对数或平均数的算术平均数的计算,运用算术平均数的前提是变量具有相加性。但相对数或平均数在空间范围内不具备相加性，这时就要运用调和平均数的计算方法。 计算步骤： 第一步：先写出所求指标的基本公式，例如：,，,2019/8/1,第四章 总量指标,61,第二步

23、：根据基本公式，检查所掌握的资料，确定权数和计算方法。,若缺少分子资料时，将分母作权数，用“f ”表示，且采用加权算术平均数的方法； 若缺少分母资料时，将分子作权数，用“m”表示，且采用加权调和平均数的方法； 第三步：将资料代入公式，计算结果。,2019/8/1,第四章 总量指标,62,例：缺少分子资料的情况,某公司所属12个企业总产值计划完成情况如下表，求该公司12个企业的平均完成程度。,2019/8/1,第四章 总量指标,63,计算：,2019/8/1,第四章 总量指标,64,例：缺少分母资料的情况,某企业从不同地工区购进三批价格不同的相同的原材料的资料如下，计算购进该材料的平均价格。,2

24、019/8/1,第四章 总量指标,65,计算：,综合练习一,2019/8/1,第四章 总量指标,66,（三）几何平均数,1、几何平均数的意义 几何平均数是反映按一定比率变动的社会经济现象标志值的一般水平。 几何平均数是n个变量值的连乘积的n次方根所计算出的平均数。通常用 G 表示。 几何平均数也有简单和加权两种形式。,2019/8/1,第四章 总量指标,67,2、简单几何平均数,适用各变量值的次数都为一次（或相同）的情况。,G =,2019/8/1,第四章 总量指标,68,例：简单几何平均数计算,某产品的生产过程包括3道连续工序，3道工序的产品合格率分别为80%、90%、95%，问完工产品合格

25、率为多少？3道工序的平均合格率为多少？,2019/8/1,第四章 总量指标,69,3、加权几何平均数,例子：某投资项目前两年的年平均收益率为12%，后三年的年平均收益率为20%，则五年的平均年收益率为：16.73%。,2019/8/1,第四章 总量指标,70,2、几何平均数、算术平均数与调和平均数的关系,算术平均数最容易受极值的影响，且极大值的影响要大于极小值的影响；调和平均数也受极值的影响，但受极小值的影响要大于极大值的影响。几何平均数受极值的影响较小，所以：, G H,2019/8/1,第四章 总量指标,71,三、位置代表值(平均数),位置代表值是根据处于特殊位置的一部分标志值来计算或确定

26、的。 众数和中位数是两个位置平均数。 它适用于总体各单位的数量特征有极大值或极小值存在的情况，或有个别数值不确切、不清楚，以及用等级表示的数据等情况。,2019/8/1,第四章 总量指标,72,（一）众数（Mode）,1、众数的含义 是现象总体中出现次数最多、或频率最高的标志值。一般用Mo表示。 Mo 可以直观地反映分配数列的集中趋势。 众数对数据等级的要求是所有集中趋势的代表值中最低的，从定类尺度到定比尺度测定的数据都适用。 众数具有不确定性。 实践中， Mo常常作为某些决策的参考依据。,2019/8/1,第四章 总量指标,73,2、品质数列和单项式变量数列众数的确定,方法：直接观察，出现次

27、数最多的标志值就是众数。 例1：某学院某学期教师开课门数如下表，求开课门数的众数。 （ Mo = 2 ）,2019/8/1,第四章 总量指标,74,例2：品质数列,2000年福建城镇居民家庭居住条件构成如下表，求居住条件的众数。（则 Mo = 自有房）,2019/8/1,第四章 总量指标,75,3、组距式变量数列众数的确定,先将频数最多的标志值所在的组确定为众数组，然后通过比例插值法计算众数。 在等距分组的条件下，众数组就是次数最多的那一组； 在不等距分组的条件下，众数组则是频数密度或频率密度最高的那一组。,2019/8/1,第四章 总量指标,76,比例插值法图解法：,2,1,dm,2019/

28、8/1,第四章 总量指标,77,众数计算公式：,下限公式,式中：L众数组下限； 1= 众数组次数 （众数组）前一组次数 2= 众数组次数 （众数组）后一组次数 dm ：众数组组距,2019/8/1,第四章 总量指标,78,上限公式：,式中：U 众数组上限； 1= 众数组次数 （众数组）前一组次数 2= 众数组次数 （众数组）后一组次数 dm ：众数组组距,2019/8/1,第四章 总量指标,79,例：组距式变量数列众数的计算,某地区农户年人均纯收入资料,转到85页,2019/8/1,第四章 总量指标,80,计算：,= 645.63元,= 645.63元,2019/8/1,第四章 总量指标,81

29、,图解法：Mo= 645.63 元,2,1,2019/8/1,第四章 总量指标,82,（二）中位数（Median）,1、中位数的含义（ Me ） 中位数是将总体各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个数值。 中位数的概念表明，数列中有一半单位的标志值小于中位数，另一半单位的标志值大于中位数。 用中位数来表示现象的一般水平。 中位数可以排除了某些极端数值对平均数的影响。 不能用于定类数据，只能在定序及以上数据中使用。,2019/8/1,第四章 总量指标,83,2、中位数的确定,（1）由顺序数据和未分组数据确定中位数 方法：先将总体中的全部数据按顺序排列，处于中位数位置的标志值就是中位数。

30、,2019/8/1,第四章 总量指标,84,（2）由单项式分组数据确定中位数,首先将顺序化的变量数列的频数或频率进行累计，然后用 来计算中位数项次，依此确定中位数组，最后确定中位数。,2019/8/1,第四章 总量指标,85,例：由单项式分组数据确定中位数,中位数的位置是85/2=42.5，所以Me =2门,2019/8/1,第四章 总量指标,86,（3）由组距式分组数据确定中位数,用 来确定中位数所在的组，再用比例法公式确定中位数的近似值。 用向上累计频数时，用下限公式计算：,式中：L 中位数组的下限 Sm-1向上累计时，中位数组前一组的累计频数 fm中位数组的频数； dm中位数组的组距,2

31、019/8/1,第四章 总量指标,87,用向下累计频数时，用上限公式计算：,式中：U中位数组的上限 Sm+1向下累计时，中位数组后一组的累计频数 fm中位数组的频数； dm中位数组的组距,注：是中位数组下方的那一组。,2019/8/1,第四章 总量指标,88,前例：,用下限公式： 用上限公式：,2019/8/1,第四章 总量指标,89,四、众数、中位数与算术平均数的关系,算术平均数与众数、中位数三者在数量上的关系取决于分配数列的分布状况。 在对称正态分布的情况下： =Me=Mo 次数分布右偏（或正偏）时： Me Mo 次数分布左偏（或负偏）时： Me Mo 在偏态适度的情况下，皮尔生经验公式：

32、 Mo与Me 距离约等于Me与算术平均数距离的2倍。 Mo - Me 2（ Me - ）,综合练习二,2019/8/1,第四章 总量指标,90,五、百分位数(非考试内容),1、百分位数据的含义(percentile) 提供了关于数据是如何在最小值和最大值之间分布的住处。 第p%百分位数满足下列条件：至少有p%的数据小于或等于该值；且至少有（100-p）%的数据大于或等于该值。,2019/8/1,第四章 总量指标,91,2、百分位数的计算,把数据按从小到大的次序排列。 计算指数：i 式中：n 是数据的个数。 若 i 不是整数，则大于的下一个整数表示第p百分位数的位置。 若 i 是整数，则第p百分

33、位数是第 i项和第（ i +1）项数据的平均值。,示例,2019/8/1,第四章 总量指标,92,3、四分位数(Quartiles),将数据划分为四个部分，每部分大约包含25%的数据。 第一四分位数Q1：即第25百分位数 第二四分位数Q2：即第50百分位数 第三四分位数Q3：即第75百分位数,2019/8/1,第四章 总量指标,93,六、算术平均数的数学性质,1、各变量值与其平均数的离差之和等于0 。,2019/8/1,第四章 总量指标,94,2、变量与任意常数代数和的平均数等于变量的平均数与常数的代数和,2019/8/1,第四章 总量指标,95,3、变量与任意常数乘积的平均数等于变量的平均数

34、与常数的乘积,2019/8/1,第四章 总量指标,96,4、各变量值与其平均数的离差平方之和为最小值,为最小值,2019/8/1,第四章 总量指标,97,5、两个独立变量代数和的平均数等于各个变量平均数的代数和,2019/8/1,第四章 总量指标,98,第四节 离散程度的度量（变异指标）,一、测定离散程度意义 1、离散程度 离散程度，也叫离中、变异。 测定离散程度的指标称为离散指标或变异指标。 变异指标反映的是各变量的离中趋势。 常用的变异指标有全距、平均差、标准差、变异系数等。,2019/8/1,第四章 总量指标,99,2、变异（离散）指标在统计分析中的作用,变异指标能反映总体各单位标志值的

35、离中趋势。 变异指标可以说明平均指标的代表性程度。 变异指标可以测定现象变动的均衡性或稳定性。,2019/8/1,第四章 总量指标,100,二、全距（极差）Range,全距是测定标志变异程度的最简单的指标，它是标志的最大值和最小值之差，反映总体标志值的变动范围，以R表示。 R = xmax xmin 或 R = Umax Lmin 其中：Umax代表最高组的上限 Lmin代表最低组的下限,2019/8/1,第四章 总量指标,101,附：四分位数间距：Interquartile Range,IQR = Q3 - Q1 IQR作为变异程度的度量，能克服极端值的影响。 即中间50%的数据的极差。,2

36、019/8/1,第四章 总量指标,102,三、平均差（Average Deviation）,平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度，用AD表示。 其计算公式有简单和加权两种形式： 未分组数列： 分组数列：,示例,2019/8/1,第四章 总量指标,103,四、方差（Variance）与标准差,1、方差与标准差的概念 标准差是方差的平方根，也称均方差。 方差和标准差比极差、平均差更具有普遍意义，它消除了极端值的影响，比避免了代数运算的障碍，是测定离散程度的最常用的指标。,2019/8/1,第四章 总量指标,104,2、数量标志的方差与

37、标准差计算,总体方差的计算公式： 简单式： 加权式：,2019/8/1,第四章 总量指标,105,2、样本方差的计算公式：,简单式： 加权式：,2019/8/1,第四章 总量指标,106,标准差的计算公式：,2019/8/1,第四章 总量指标,107,3、方差与标准差的简捷计算,对于未分组资料： 对于分组资料：,示例,2019/8/1,第四章 总量指标,108,4、是非标志的方差与标准差计算,方差：2 = (1- p)2 p + (0- p)2 (1- p) = q2p + p2q = pq (q+p) = p q = p (1- p ) 标准差： 例：某产品102万件，某中合格品84.26万

38、件，不合格品15.74万件，求该产品的标准差。,2019/8/1,第四章 总量指标,109,五、变异（离散）系数,变异系数是以相对数形式表示的变异指标。 它是通过变异指标中的全距、平均差或标准差与变量的算术平均数对比得到的。 相应的有全距系数、平均差系数和标准差系数。 最常用的是标准差系数，用V表示，其计算公式如下：,2019/8/1,第四章 总量指标,110,续前：,全距（极差）系数： 平均差系数： 成数的方差系数：,成数平均数代表性判断的特殊性。,2019/8/1,第四章 总量指标,111,六、异众比率（非考试内容）,异众比率是总体中非众数次数与总体全部次数之比。 也是一个反映离散程度的相

39、对指标。 异众比率越小，说明离异程度越小。,2019/8/1,第四章 总量指标,112,七、偏态的测定（非考试内容）,1、皮尔逊偏态系数的测定 偏态系数（偏斜度）计算公式： 偏态系数一般在0与3之间，0表示对称分布，+3表示极端右偏，-3表示极端左偏。,2019/8/1,第四章 总量指标,113,2、中心矩偏态系数的测定,中心矩（中心动差）的计算公式： 当 k = 1 时，称为一阶中心动差，m1=0 当 k = 2 时，称为二阶中心动差，m2=2 当 k = 3 时，称为三阶中心动差 当 k = 4 时，称为四阶中心动差,2019/8/1,第四章 总量指标,114,3、中心矩偏态系数的测定,中

40、心矩偏态系数的计算公式： 当3 =0 时，为对称分布。 当3 0时，为右偏分布，值越大偏斜程度越高 当3 0时，为左偏分布，值越小偏斜程度越高,2019/8/1,第四章 总量指标,115,八、峰度的测定（非考试内容）,峰度系数的计算公式： 当4 = 3时，为正态分布 当4 3时，为尖顶分布 当4 3时，为平顶分布。接近1.8时，为一条水平线；小于1.8时，为“U”形分布。,经验值,2019/8/1,第四章 总量指标,116,九、z-分数（非考试内容）,度量任一数据的相对位置。 zi：xi 的z-分数 z-分数被称为标准化数值，说明xi 距离平均数的标准差的个数。,样本标准差,2019/8/1,

41、第四章 总量指标,117,十、切比雪夫定理（非考试内容）,与平均数的距离在z个标准差之内的数据项所占的比例至少为： 式中：z大于1的任意实数。 适用于任何数据集。 （比较正态分布的情况。）,2019/8/1,第四章 总量指标,118,十一、异常值的检测（非考试内容）,异常值，即极端值。 对于正态分布的情况，当z-分数小于-3或大于+3的数值，视为异常值。,思考题,2019/8/1,第四章 总量指标,119,综合练习三,练习1 练习2 练习3,2019/8/1,第四章 总量指标,120,本章主要问答题,总量指标、相对指标、平均指标的概念和作用。 数值平均数和位置平均数各有什么特点？ 如何计算相对指标或平均指标的静态平均数？ 如何应用标准差和标准差系数？ 简述算术平均数和众数、中位数的关系。 简单算术平均数、加权算术平均数和直线趋势方程式各有什么数学性质？,