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1、,2.4 连续型随机变量及其概率密度函数,一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量X的分布函数为 ，若存在非负可 积函数 ，使得对于任意实数 ，都有 （215） 则称X为连续型随机变量， 称 为X的概率密度函数 （Probability Density Function），简称概率密度或密度. 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 在x点的函 数值等于其概率密度函数 在区间 上的积分 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 的概率密度 函数具有如下基本性质：,（1）（非负性） 对任意的实数 ， 0； （2）（规范性） （216） 反过来，若已知一个函数 满足上述性质(1)和(2),则
2、一定是某连续型随机变量X的概率密度函数 另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质： 1.对于任意实数 ( ), = ； 2.连续型随机变量X的分布函数 是连续的,但反之不真； 3.连续型随机变量X取任一确定值的概率为0；即对于任意 实数 ， = 0； 事实上，由（212）和 的连续性即知: 因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,（1）概率为零的事件未必是不可能事件；概率为1的事件 也不一定是必然事件； （2）在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可 不必区分是开区间、闭区间还是半开半闭区间， 即对任意的 实数 ，有 (217) 这样，如果 除可数个点外导数处处连续,那么在
3、的 导数连续点处 ,而在其它点处f(x)的值可任意补充 定义,不妨取为0,于是可得到X的一个概率密度函数 (218),二、常见的几种连续型分布 1均匀分布 定义2.9 若X的概率密度函数为 （219） 则称X服从区间(a, b)内的均匀分布(Uniform Distribution),记 为 U(a, b) 均匀分布的特征： （1） 若XU(a, b), 则落在（a, b）内任意子区间内的概 率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关 事实上，对于任意一个长度的子区间 ,（2）若X ，则X的分布函数为 （220） （3） 和 的图形分别为 图2.3,2. 指数分布 定义2.10 若X的概率密
4、度函数为 （ 0） （221） 则称X服从参数为 的指数分布(Exponential Distribution),记 为 ，其分布函数为 (222） 指数分布的概率密度函数 和分布函数 的图形分别为 图2.4,生活中，指数分布应用很广像电子元件的使用寿命、电 话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述 因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的 应用 3正态分布 （1）正态分布的概念 定义2.11 若X的概率密度函数为 （223） 其中 和 为常数且 ，则称X服从参数为 的正态分布 （Normal Distribution），记为 ，正态分布也叫高 斯分布（Gauss）,
5、 其分布函数为,（224） 特别地, 当 时，则称正态分布 为标准正态分布, 它的概率密度函数特记为 ，即 （225） 它的分布函数特记为 ，即 （226 ) 标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形分别如图2.6 所示：,由于 是概率密度函数，因此 . 从而, 有 (227） (228） 上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到,（2）正态分布的特征 若 ,则其概率密度函数 具有如下特征： (1) 的图像关于直线 对称； 由此便有 ； ； (2) 的最大值为 ； (3) 愈远， 值愈小,曲线 以O 轴为渐近线； (4) 对于确定的 越小， 越大，X落在 附近的概率 越大； 越大，
6、越小，X落在 附近的概率越小； (5) 曲线 的拐点是 和,图片2.5 易知:若 ,则 . 事实上,对于任意实数 , 的分布函数 (令 ) 所以 .,这样我们便有如下定理： 定理2.2 若 ，其分布函数为 ，则对任意 实数 ，有 （229） 证明 因为 , 所以 . 推论 若 ，则对于任意实数 ，有 （230） 利用（230），可将一般正态分布的概率计算转化为标 准正态分布的概率计算，而标准正态分布的分布函数值可由 附表2获得，这样一般正态分布的概率计算就可解决,关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 . (2-31) 这可用 的定义证明或由下图说明这里就不做证明了. 图26 另外,
7、 还有几个经常用到的公式： 若X ，则对于任 意实数 , ,( )，有 （1） ； （2） ； （3） .,特别地，如果 ，则对任意 ，有 ， 当 、2、3时，分别有 ； ； ；,可见, 服从正态分布 的随机变量X，虽然理论上可以 取任意实数值，但实际上它的取值落在区间 内的概 率约为68.26 %;落在区间 内的概率约为95.44 %,落 在区间 内的概率99.74%.因此,服从正态分布 的随机变量X落在区间 之外的概率约0.26%,还不到 千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可 能发生，这就是著名的“ ”准则它在实际中常用来作为质 量控制的依据 在自然现象和社会现象中, 大量的随机变量都服从或近似 服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海 洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试 的成绩等正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从 正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重 要的地位,