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1、第五章 常用概率分布,二项分布,二项分布的概念与特征 一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏: 每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。 先后摸5次，摸到黄球次数为0、1、2、3、4和5的概率分别是多大？,该实验有三个特点： 一、是各次摸球是彼此独立的； 二、是每次摸球只有二种可能的结果，黄球或白球； 三、是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。 具备这三点， n次中有X次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。,例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为。某医生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的概率是多少？ 因为每例
2、有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意3例有效。,医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。 如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1）；而且各个观察对象的结果是相互独立的： 那么，重复观察n个人，发生阳性结果的人数X的概率分布为二项分布，记作B（X；n，）。,二项分布的概率函数P(X)可用公式（5-1）来计算。,例5-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率是多大？,表5-1 治疗3例可能的有效例数及其概率,由表5-1可知,各种可能结果出现的
3、概率合计为1，即P(X)=1（X=0,1,n）。 因此,如果欲求1例以上有效的概率可以是 P(x1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216 =0.936 也可以是P(x1)=1P(0)=10.064=0.936,二项分布的特征,二项分布的图形特征 接近0.5时，图形是对称的；图5-1 离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。图5-2 当n时，只要不太靠近0或1， 当nP和n(1P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。 二项分布图形取决于与n，高峰=n处,二项分布,图5-1 =0.5时,不同n值对应的二项分布,二项分布,图5-2 =0.3时, 不同n值
4、对应的二项分布,二项分布的均数和标准差 总体均数： 方差： 标准差：,如果将出现阳性结果的频率记为 总体均数： 标准差：,例5-4 研究者随机抽查某地150人，其中有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%，求此率的抽样误差。,二项分布的应用 （一）概率估计 例5-5 如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？ 从n=150，=0.13的二项分布，由公式（5-1）和（5-2）,可以得出150人中有10人感染钩虫的概率为,（二）单侧累积概率计算 二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为 出现阳性的次数至少为k次的概率为,例5-6 例5-5中某地钩虫感染率为
5、13%，随机抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率有多大？,根据公式（5-10）至多有2名感染钩虫的概率为,至少有2名感染钩虫的概率为,至少有20名感染钩虫的概率为,研究非遗传性疾病的家族集聚性 非遗传性疾病的家族集聚性(clustering in families)，系指该种疾病的发生在家族成员间是否有传染性？如果没有传染性，即该种疾病无家族集聚性，家族成员患病应是独立的。此时以家族为样本，在n个成员中，出现X个成员患病的概率分布呈二项分布；否则，便不服从二项分布。,例5-7 某研究者为研究某种非遗传性疾病的家族集聚性
6、，对一社区82户3口人的家庭进行了该种疾病患病情况调查，所得数据资料见表5-1中的第（1）、（2）栏。试分析其家族集聚性。,如果该社区的此种疾病存在家族集聚性，则以每户3口人的家庭为样本，在3个家庭成员中，出现X（=0，1，2，3）个成员患病的概率分布即不服从二项分布。为此，可作如下假设检验。 H0：该疾病的发生无家族集聚性 H1：该疾病的发生有家族集聚性 =0.10,本例调查的总人数为：N=823=246（人） 其中患病人数为： D=026+110+228+318=120（人） 以这246人的患病率估计总体的患病率，即=D/N=120/246=0.49。,在n=3、=0.49时，利用二项分布
7、，求得X=0，1，2，3的概率P(X)，并以此得到相应的理论户数。对理论户数与实际户数进行拟合优度（goodness of fit）的检验。此时，自由度为=组数2=42=2。计算结果列于表6-1中的第（3）至（7）栏。,Poisson分布,一、概念 Poisson分布也是一种离散型分布，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。医学上人群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件等都是罕见的，可能发生这些事件的观察例数n常常很大 ，但实际上发生类似事件的数目却很小很小。,Poisson分布可以看作是发生的概率（或未发生的概率1）很小，而观察例数n很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条以外，Poisson
8、分布还要求或（1）接近于0或1（例如0.999）。,Poisson分布的特征 Poisson分布的概率函数为 式中， 为Poisson分布的总体均数，X为观察单位内某稀有事件的发生次数；e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828。,(三) Poisson分布的图形 不同的参数 对应不同的Poisson分布，即 的大小决定了Poisson分布的图形特征，见图5-3。 当 越小，分布就越偏态； 当 越大时，Poisson分布则越渐近正态分布。当 1时，随X取值的变大，P(X)值反而变小；当 1 时，随X取值的变大，P(X)值先增大而后变小。 如若 是整数，则P(X)在X= 和X= -1位置取得
9、最大值。,图5-3 取不同值时的Poisson分布图,由图5-3可以看到Poisson分布当总体均数值小于5时为偏峰，愈小分布愈偏，随着增大，分布趋向对称。 Poisson分布有以下特性： （1）Poisson分布的总体均数与总体方差相等,均为 （2）Poisson分布的观察结果有可加性 即对于服从Poisson分布的m个互相独立的随机变量X1，X2，Xm，它们之和也服从Poisson分布，且其均数为这m个随机变量的均数之和。,Poisson分布的应用 （一）概率估计 例5-7 如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8，那么该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有多大？ =n=1200
10、.008=0.96,（二）单侧累计概率计算 如果稀有事件发生次数的总体均数为，那么该稀有事件发生次数至多为k次的概率 发生次数至少为k次的概率,例5-8 例5-7中，至多有4人患先天性心脏病的概率有多大？至少有人患先天性心脏病的概率有多大？ 至多有4人患先天性心脏病的概率 至少有人患先天性心脏病的概率为,例5-9 实验显示某100cm2的培养皿平均菌落数为6个，试估计该培养皿菌落数小于3个的概率，大于1个的概率。 该培养皿菌落数小于3个的概率 菌落数大于1个的概率为,正态分布、二项分布和Poisson分布的关系,正态分布,二项分布,Poisson分布,发生的概率很小， 而观察例数n很大,n和n(1- )均大于5,20,