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1、第五章,矩阵的特征值和特征向量,向量的内积和正交化 矩阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的对角化,回忆:,1 向量的内积和正交化,推广到实数域R上的n维实向量空间,定义1,内积,内积的运算性质,(施瓦兹不等式）,当 时上式显然成立,当 时，,证毕,定义2,令,向量长度具有以下性质,（1）非负性,只有当 时,（2）齐次性,（3）三角不等式,证明：,根据内积的性质有,根据施瓦兹不等式，有,从而,即,当 时，,即,定义3,注：零向量与任何向量都正交.,定义4,定义5 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。,定理1 若 是正交向量组，则该向量组线性无关。,设,由于对于任意向
2、量,则,即,由于 是一正交向量组，,故当 时，,因此有,又因为,所以,故 线性无关,定义6 设n维向量 是向量空间 的一组基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称其为标准正交基。,例如,同理可知,基 正交基 标准正交基,（1）正交化，取 ，,（2）单位化，取,解 先正交化，,令,施密特正交化过程,再单位化，,得标准正交向量组如下,例2,解,把基础解系正交化，即为所求令,定义7,定理3,为正交矩阵的充要条件是 的列(行) 向量都是单位向量且两两正交,由此可知A的列向量组构成 的 一个标准正交基。,同样的方法，行向量组也是。,例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵,解,（2）由于,所以它是正交矩阵,定理
3、2,例3 设,都是,阶正交矩阵，且,，求,提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？,解 由,，可知,，于是,所以,2 矩阵的特征值和特征向量,应当注意，根据定义特征向量不能是零向量,给定矩阵A，如何求A的特征值和特征向量呢？,设该齐次线性方程组的解空间为,中的任一非零向量都是 的属于的 特征向量。,称为关于 的 属于特征值 的特征子空间,根据齐次线性方程组有非零解的条件可知，,中就含有非零解向量,的特征方程,的特征多项式,特征多项式展开为,我们知道,次复系数多项式有 个且恰有 个根（重根按重数计算），故,阶方阵有 个复特征值,设 的 个特征根（重根按重数计算）为,则有,将该式展开，然后与上式
4、比较系数，即可得：,从上式（）可看出：，,有特征值的充分必要条件是,另外从特征值的定义可知，,对角矩阵的特征值就是它的主对角线上 的所有元素,若 的特征值是 ， 是 的属于 的特征向量，则,特征值还有如下性质：,？,为x的多项式，则 的特征值为,(5) 方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。,(6)矩阵 和 的特征值相同。,求特征值、特征向量的步骤：,即可求出特征值 ;,写出特征方程,求其所有的 根，,所以，A的特征值为,按照同样的方法：,特点：,（1） 是代数方程，复数内有个根， 有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。,(2) 的特征向量只属于一个特征值 ， 而 属于 的 特征向量却
5、有无数更多个。,3 相似矩阵,矩阵的相似有以下关系： 1）反身性；2）对称性；3）传递性。,矩阵相似的性质：,4）若 与 相似，则,注：,1）定理5的 条件必要但不充分。,2）若两个矩阵特征值不 相同时，则其一定不相似。,3）设,为他们的 某个特征值，,为 关于 的特征向量，,则 为 的 关于 的特征向量.,利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 .,证明：,证毕。,说明,所以，A的特征值为,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,问 为何值时，矩阵 能对角化？,例,有2个线性无关的特征向量时，,矩阵 能对角化。,解,例,且 与 相似，求 的值。,因
6、为 与 相似，,所以它们有 相同的 特征值2，2，b，,解,把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。,1. 由特征值、特征向量求矩阵,例2：已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,令,分析：,2. 求方阵的幂,例4：设 求,解：,定理 实对称矩阵的特征值为实数.,4 实对称矩阵的对角化,证明,于是,证明,它们的重数分别为,设 的互不相同的特征值为,又对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,解 显然A=A。故一定存在正交矩阵，使-1A 为对角矩阵。,求得一基础解系为,正交化，令,再单位化，令,求得一基础解系为,只有一个向量，只要单位化，得,，则有,例2,设3阶实对称矩阵 的特征值为,对应 的特征向量依次为,求,与 正交,单位化，,得正交阵,则,解,