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1、莫兴德 广西大学 数信学院,Email:,微 积 分,链接目录,参考书,1赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 2同济大学. 高等数学. 高等教育出版社,第三章 导数与微分,引例 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分,3-3 导数的基本公式 （续） 取对数求导法 隐函数微分法 参数函数微分法,隐函数的求导法则,隐函数的求导法则,F ( x, f (x) ) 0,对上式两边关于 x 求导（把看成是中间变量）：,然后, 从这个式子中解出 y , 就得到隐函数的导数.,方法：,则将 y = f (x) 代入方程中, 得到,如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x)
2、 可导,解,两边对x寻求导,求由方程,( x 0 ),所确定的隐函数的导数 y, 并求,方程两边关于 x 求导：,故,由原方程可得： F(0, y) = 0y e0 + ey = 0,从而,解,故,求椭圆,对方程两边关于 x 求导得：,故所求切线的方程为：,解,整理后, 切线方程为：,参数方程求导法则,选择一个适当的参数 t 后,的形式, 此式称为函数 y = f (x) 的参数方程.,y = f (x) 可表示为,1. 参数方程的概念,参数方程求导法则,参数方程求导法则：,设,利用反函数求导法则可证明该法则,椭圆上任意一点x处的切线的斜率为,故,从而, 所求切线方程为： y = b .,解,
3、又,星形线是一种圆内摆线,解,取对数求导法,然后, 对方程两边关于 x 求导：,方法:,在条件允许的情况下, 对 y = f (x) 两边,同时取对数：,注意：y 是 x 的函数.,取对数求导法,取对数求导法常用来求一些 复杂的乘除式、根式、幂指函数 等的导数.,运用取对数求导法,两边关于 x 求导：,故,解,运用取对数求导法,两边关于 x 求导：,解,整理得,对这类型的题用取对数求导法很方便哦！,运用取对数求导法,解,故,基本初等函数的导数,导数的四则运算法则,反函数的导数,复合函数求导法,隐函数的求导法,参数方程求导法,取对数求导法,求导方法小结,按定义求导,3.4 高阶导数,3.4 高阶
4、导数,一. 高阶导数的概念,高阶导数的运算法则,隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数,一. 高阶导数的概念,推而广之:,按照一阶导数的极限形式, 有,和,一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为,如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为,解,注意, 当 k = n 时,综上所述：,解,多项式,的高
5、阶导数.,解,对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .,求 y = ex 的各阶导数.,解,y = ex 的任何阶导数仍为 ex,求 y = ax 的各阶导数.,解,运用数学归纳法可得,求 y = lnx 的各阶导数.,解,设,类似地, 有,则,故由数学归纳法得,解,注意这里的方法,即,类似地, 有,解,看出结论没有？,运用数学归纳法可以证得,类似地 , 可求得,解,解,二阶导数经常遇到, 一定要掌握.,解,由复合函数及反函数的求导法则, 得,解,高阶导数的运算法则,设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则,(1),(2) 莱布尼兹公式,两个基本公式,由于,故,解,解,由莱布尼兹公式,证,看出一点什么没有？,你打算怎么处理此式？,对上式关于 x 求导 n 次：,故,即,隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数,原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.,对方程两边关于 x 求导:,解,想想如何求二阶导数？,对方程两边关于 x 求导, 得:,对该方程两边关于 x 求导:,解,从而,其中,方程两边对 x 求导,解,故,参数方程求导法则：,设,解,参数方程求导 并不难啊 ！,解,解,