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1、组号:183A题：乒乓球比赛“11分制”问题09080208 马 健 1501065313809081116 顾研博 1521093892509081117 刘银行 152102580951. 摘要：每回合比赛的结果就是一个随机事件 , 因此竞技能力高的选手不一定在每回合都能够获胜 , 比赛的结果存在偶然性 . 影响一个乒乓球运动员的技术水平有多种因素 , 假设运动员在单回合比赛中发挥的竞技能力有一固定随机变量，通过对不同分制的比赛进行分析得出结论。2. 问题重述建立相应的数学模型，对乒乓球“11分制”进行研讨，讨论分制对公平性的影响3. 基本假设(1) 假设比赛的结果只和比赛双方的技术水平和
2、心理素质有关 , 不考虑对手的各种干扰 , 也不考虑其他场内场外因素(包括裁判 , 球台和观众等) .(2) 假设所有的比赛都可以在规定时间内完成 , 即不出现有抽签或其它非得分因素决定赛果的可能 .(3) 假设所有赛制下 , 影响同一运动员在单回合比赛中水平的因素是一致的 .(4) 假设不出现平局 .(5) 不影响问题实质地 , 假设仅考虑单打比赛(6) 为表述方便 , 假设比赛的双方运动员分别为a和b , 比赛中比分(i,j)是指a获得i分 , b获得j分 .4. 术语说明(1) 一个回合 球处于比赛状态的一段时间 . (2) 球处比赛状态 从发球时 , 球被有意向上抛起前 , 静止在不执
3、拍手掌上的一瞬间 . 到该回合被判得分或重发球 . (3) 重发球 不予判分的回合 . (4) 一分 : 判分的回合 . (5) 一盘比赛 在一盘比赛中 , 先得11分(21分制为21分)的运动员为胜方 , 打到10(21分制为20)平以后,先多得2分者为胜方 . (6) 一场比赛 一场比赛可采用三局两胜制 , 五局三胜或七局五胜制 , 应连续进行 , 但可按照规定在每盘比赛之间进行休息 .(7) 发球和接发球次序及方位 纪录的比分每到2(21分制为5)分 , 接发球一方即成为发球的一方 , 按此类推直到一局结束 , 或到10(21分制为20)平 , 或到开始实行轮换发球法 . 在10(21分
4、制为20)平后 , 比分每到1(21分制为2)分交换发球 .5. 符号说明a运动员a的技术水平 .a运动员a水平发挥的稳定性 .Sa运动员a的临场竞技能力 .Ba运动员a在单回合比赛中的胜率 .Ga运动员a在单盘比赛中的胜率 .Ma运动员a在单场比赛中的胜率 .T(i1,j1),(i2,j2) 乒乓球比赛中双方比分从(i1,j1)到(i2,j2)的概率 .Oc比赛的偶然性 .Ex比赛的激烈程度 .(i , j)比赛得分为i比j .Jn第n回合开始前的比分记录F(i,j)场上比分为(i,j)时比赛的激烈程度 .KeyScore为获得比赛胜利的最少得分 , 11分制为11 , 21分制为21TiK
5、eyScore为i时比分记录的转移概率矩阵f(i,j) 某一回合开始前比分为(i,j)时 , 该回合比赛的激烈程度F(i,j) 出现比分(i,j)时 , 整盘比赛的激烈程度FG 比赛的激烈程度Lk(i,j) 到达比分(i,j)的第k条比分记录路径6. 问题初步分析在忽略裁判 , 球台和观众的情况下 , 可以认为单个回合的胜负概率由且仅由比赛双方运动员的技术水平和心理因素决定 . 这样 , 在比赛规则确定以后 , 可以认为单回合胜率是比赛双方个人因素的函数 , 单盘比赛的胜率是回合胜率的函数 , 单场比赛的胜率是单盘胜率的函数 . 也即 :运动员因素 回合胜率 盘胜率 场胜率由于运动员的水平发挥
6、并不是确定的 , 可以认为运动员在每回合比赛中发挥的水平是一个随机变量 . 每回合比赛的结果就是一个随机事件 , 因此竞技能力高的选手不一定在每回合都能够获胜 , 比赛的结果存在偶然性 . 经过对乒乓球比赛情况和”偶然性”的语义的分析 , 我们认为比赛的偶然性可以先做如下粗略定义(设a为运动员a的技术水平) :Oc = P a选手战胜b选手 | ab 也即在a号选手技术水平强于于b号选手时 , a号选手获胜的概率 .在分析了”比赛激烈程度”的语义后 , 我们认为出现拉锯战 , 即比赛双方的得分比较接近而且交替上升的情况是使运动员感觉比赛激烈 , 观众感觉比赛刺激的主要因素 . 设比赛中的每个回
7、合开始前场上的比分为(i,j) , 我们可以是该回合的激烈程度双方比分( i , j )的函数 . 回合的激烈程度随着比分差的绝对值| i j |的减少而增大 , 这是因为比分越接近比赛的结果就越难以预料 , 双方运动员越会竭尽全力争取该回合的胜利 , 观众的情绪也越高 . 另外 , 当得分i , j越接近取胜分值(11分或21分) , 比赛越激烈 , 这是因为比分越接近取胜分值 , 该回合对比赛胜负的意义就越大 . 7. 模型的建立与求解影响一个乒乓球运动员的技术水平有多种因素 , 包括力量 , 技巧 , 速度和反应能力等 . 同时 , 不同的运动员在发球 , 接球和扣球等环节有各自的特色
8、, 要权衡各种因素 , 对运动员的竞技水平作出综合评价是很困难的 . 为了简化模型的讨论 , 在不影响模型有效性的前提下 , 我们认为运动员的技术水平可以用一个标准化的指标衡量 . 运动员a的技术水平比运动员b 的技术水平高当且仅当ab .同时 , 在竞技比赛中还必须考虑各种非技术因素 . 其中 , 运动员的心理素质和心理状态对技术水平的发挥有着极大的影响 . 心理素质过硬的运动员即便在重要的大型比赛中也能正常发挥甚至超常发挥 ; 反之 , 运动员如果存在各种心理负担 , 患得患失 , 则会出现马失前蹄的情况 . 另外选手在某一回合的临场发挥还会受到当前比分 , 落后或领先的差距 , 体能体力
9、和偶然失误等各方面因素的影响 . 鉴于上述原因 , 运动员在比赛中发挥水平的高低不但与多种因素有关 , 而且这些因素都属于随机变量 , 精确建模比较困难 . 但根据古典概率中的一般化的中心极限定理, 若某一数量指标由很多种随机因素决定 , 而每个因素所起的作用都不显著, 则这个指标符合正态分布 . 设运动员a在单回合比赛中发挥的竞技能力的随机变量为Sa , 有其中 , a表征运动员a的在平均状态下发挥的技术水平 , a表征运动员状态发挥的稳定性 , 也即临场水平与正常水平偏离的程度 . 假定在运动员a和b的某一回合比赛中 , a的临场发挥水平为Sa , b的临场发挥水平为Sb , a在本回合取
10、胜的概率为 :由于在基本假设中我们不考虑运动员之间的互相干扰 , 即认为随机变量Si , Sj是相互独立的 . 其联合分布密度为 :a的胜率为不考虑平局 , b的胜率为假设运动员在每个回合比赛的胜率是一定的 , 即跟回合开始前的比分无关 , 则可以用古典概率论的方法计算出运动员a和b的单盘比赛胜率 .为方便讨论 , 对运动员a和b的单回合胜率Ba和Bb , 设=Ba , =Bb=1-. i) 若运动员a以胜需要的最少分值KeyScore(11分制为11分 , 21分制为21分)获胜 , 则场上的最终比分可能是(KeyScore , 0) , (KeyScore , 1) , , (KeySco
11、re , KeyScore-2) . 多个回合的比赛可以看成是多次独立随机试验 . 因此 , 在任何一方得分都小于KeyScore时 , 场上出现比分(i,j)的概率为运动员a要以KeyScore获胜 , 则必须在比分为(KeyScore-1 , 0) , (KeyScore-1 , 1) , , (KeyScore-1 , KeyScore-2)时再胜一回合 , 由古典概型的加法和乘法公式 , 总的概率有 :ii) 若场上比分达到(KeyScore-1 , KeyScore-1) , 取胜规则变成先领先2分的运动员获胜 . 对与比分(i,j) , 记随机变量DeltaScore = i j
12、. 将DeltaScore看成数轴上的一个随机游动的质点 . 若运动员a在下一个回合获胜 , 则质点向正方向移动一个单位 , 反之向负方向移动一个单位 . 由于有领先2分即获胜的规则 , 在点 -2 和 2 处分别设立吸收壁 . 若质点最终被 -2 吸收 , 则a获胜 , 若被 2 吸收 , 则b获胜 . 这样 , 在这个直线随机游动中 , 质点的初始位置为DeltaScore = (KeyScore-1) (KeyScore-1) = 0 , 正向移动的概率为 , 负向移动的概率为 , 吸收壁为 -2 和 2 .0-112-2图一直线上有2个吸收壁的随机游动定理一 对于数轴上的随机游动 ,
13、假定质点在时刻t=0时 , 位于x=k , 而在x=A及x=B处(A=0=B)各有一吸收壁 , 质点在下一时刻正向移动的概率为 , 负向移动的概率为=1- . 则质点最终被吸收壁吸收的概率为1证明 : 设 , 有时 , 由记r=/ , dk=pk+1-pk ,上式化为由及pA=1 , pB=0知 :由等比数列求和公式有再由得同理 , 设 , 有因此有 , 证毕 . 根据上述定理 , 比赛最终决出胜负并结束的概率为1 . 对于吸收壁设在 -2 和 2 , 质点初始位置为0的随机游动 , 按质点被 2 吸收的概率 , 也即a的胜率为iii) 综合i) , ii) , 运动员a的单盘比赛胜率Ga为根
14、据模型, 用 , 和就可以计算采用6 , 11 , 16 , 21 , 16分制时 , 选手单回合胜率和单盘胜率之间的函数关系 . 结果如下图所示 .图二6,11,16,21,26分制下单回合胜率和单盘胜率之间的函数关系可以认为单回合胜率表征了运动员的综合竞技能力 . 按照问题初步分析中定义的比赛偶然性 , 我们可以认为 , 当单盘比赛胜率与单回合胜率完全无关 , 即无论双方运动员竞技能力如何 , 胜率都是0.5时 , 比赛结果是完全偶然的(如上图粉红线所示) ; 而当单盘比赛胜率完全由单回合胜率决定 , 即竞技能力高的运动员一定获胜时 , 比赛结果是完全没有偶然性的(如上图棕色部分所示) .8. 结论由上图可以看出 , 比赛规则中KeyScore越大 , 函数曲线越接近无偶然性的棕色函数线 ; 当KeyScore越小时 , 函数曲线越接近完全偶然的函数线 . 也就是说比赛的分制越高 , 赛果的偶然性越小 , 这也是符合我们的一般经验的 .9. 参考资料1 Frank R.Giordano,Maurice D.Weir,William P.Fox，数学建模（原书第3版），机械工业出版社2005.12 杨桂元, 数学模型应用实例, 合肥工业大学出版社 2007 3 罗斯, 概率论基础教程, 机械工业出版社 20068