数学建模论文-医院就医排队.doc

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1、目目 录录 1.问题重述问题重述1 2.问题分析问题分析1 3.基本假设与符号说明基本假设与符号说明2 3.1 基本假设.2 3.2 符号说明.2 4.问题一的求解问题一的求解3 4.1 基本概念.3 4.2 解题思路.3 4.3 评价指标.5 5. 动态自适应排队模型的建立动态自适应排队模型的建立5 5.1 类型优先级的确定.5 5.2 动态自适应排队模型建立的总体流程.6 5.3 模型的构建和相关参数的定义7 5.4 权重的确定8 5.5 问题二的求解9 5.6 MATLAB 编程实现病人入院动态排序及计算评价.10 6.问题三的求解问题三的求解11 6.1 预告入院时间计算步骤12 6.

2、2 实例计算12 7.问题四的求解及分析问题四的求解及分析13 7.1 问题四求解.13 7.2 模型稳定性分析14 8.问题五的求解问题五的求解14 8.1 问题分析.14 8.2 模型的建立与求解.14 8.3 模型结果评价分析.17 9.模型评价与改进模型评价与改进19 参考文献参考文献.19 附附 录录20 1 1.问题重述问题重述 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、 到药房取药、等待住院等，往往需要排队等待才能接受服务。 我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。 该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 79 张。该医院眼科手术主要分四大类

3、： 白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日这段时间里各类病人的情况。 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类 病人的术前准备时间只需 1、2 天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到 60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后 2-3 天内就可以接受 手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排 在周一、周三。由于急

4、症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但 考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不 安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数 学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。 问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优 劣 。 问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二

5、 天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中 的指标体系作出评价。 问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院 病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手 术时间安排是否应作出相应调整? 问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取 使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统 内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。 2.问题分析问题分析 排队系统的主要数量

6、指标有：队长和排队长、等待时间和逗留时间、忙期和闲期。 医院病床安排过程中，考虑相对较多的指标为时间指标，所以选取合适的时间指标作 为评价病床安排模型的指标体系即可。即可把医院病床的合理安排问题理解为排队理 论中如何选取服务台对病人进行服务的规则问题。 问题二、三、四大致需要建立同一个有关动态自适应排队的模型，模型应该围绕 2 第一问的指标体系以及当天是周几这两个方面去考虑。由于急症数量较少并且较特殊， 建模时要先处理急诊（外伤）的情况；运用该模型和对以往数据的统计，可以针对该 病种的入住时间范围做个区间估计；最后可以通过细微调整模型来实现满足外界条件 改变后的情况。 问题五可以理解为：多队列

7、排队模型情况下，服务台的分配问题，是排队系统的 最优设计问题。以各个队列的服务台数为变量，利用等待制排队模型平稳分布的结论， 构造所有病人在系统平均逗留时间最短的最优目标函数，求解整数规划。 3.基本假设与符号说明基本假设与符号说明 3.1 基本假设基本假设 1. 医院眼科手术条件较充分，可不考虑手术条件的限制。 2未出院病人的出院时间时以均值来代替。 3其他眼科疾病术前准备时间为 2-3 天。 3.2 符号说明符号说明 符号 符号说明 某病人的编号 i 第 i 号病人当前已经等待的时间 i t 等待队列中，第 i 号病人类型所占比例 i 第 i 号病人的优先级系数 i 病人入院综合优先顺序指

8、标 i f 各个指标的权重 i a ：当系统处于状态时，单位时间内来到系统的平均病人数，当为常数时，记为。 n n n ：当系统处于状态时，单位时间内可以服务完的平均病人数，当为常数时，记为。 n un n uu 3 4.问题一的求解问题一的求解 4.1 基本概念基本概念 日均出院人数：每天从医院办理出院的病人数量。 人均等待时间：每个病人到达门诊时刻起到开始住院这段时间的平均值。 人均逗留时间：每个病人到达门诊时刻起到出院这段时间的平均值。 4.2 解题思路解题思路 一，研究 2008-7-13 至 2008-9-11 这段时间内，新来病人频数分布。 二，研究 2008-8-8 至 2008

9、-9-11 这段时间内，病人住院时间的频数分布。 三，建立单队列 FCFS 规则下的排队模型，检验系统是否达到平稳状态。 表 4-1 每天门诊病人频数分布表 门诊病人（人） 345678910111213141516 合计 频数（天） 22578611354322161 频数分布表 0 2 4 6 8 10 12 345678910 11 12 13 14 15 16 门诊病人数（人） 频数（天） 图 4-1 表格说明：总共观察了 61 天，每天平均门诊人数为 8.69 人。 根据分布拟合检验的思想以及皮尔逊定理，采用检验法和 MATLAB 统计工具 2 箱（程序见附录一） ，可以验证门诊病人

10、频数分布表服从分布。所以，病人的Poisson 相继到达时间间隔服从参数为 8.69 的负指数分布。 表 4-2 住院天数频数分布表 住院天数 3456789101112131415161718 人数 916334138282937362322158932 4 单位时间住院天数 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 3456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 住院天数 人数 图 4-2 表格说明：总共观察 349 人，每人平均住院天数为 9 天。 根据住院天数频数分布表，将住院天数取倒数，得到系统服务时间频数表。 服务时间人数服务时间人数服务时间人数

11、 0.3333 90.1111 290.0667 8 0.2500 160.1000 370.0625 9 0.2000 330.0909 360.0588 3 0.1667 410.0833 230.0556 2 0.1429 380.0769 22 0.1250 280.0714 15 表 4-3 服务时间频数分布表 根据分布拟合检验的思想以及皮尔逊定理，采用检验法和 MATLAB 统计工具 2 箱（程序见附录一） ，可以验证服务时间频数分布表服从负指数分布。 为了检验医院病床排队系统是否可以达到平稳状态，需要求出这个医院每天的出 院人数，整理数据得到下表。 日期出院人数日期出院人数日期出

12、院人数 8-815 8-2010 9-16 8-920 8-214 9-22 8-109 8-228 9-35 8-116 8-2318 9-49 8-122 8-2411 9-513 8-136 8-256 9-617 8-263 9-710 8-14 8-15 9 8 8-278 9-84 8-1613 8-2812 9-95 8-176 8-2910 9-1013 8-184 8-3014 9-117 8-197 8-312 5 表 4-4 每天出院人数 出院人数 0 5 10 15 20 25 14710 13161922252831 343740 第i天 人数 图 4-3 每天出院人

13、数折线图 图表说明：出院人数表是根据附录中的数据整理得出，从 8 月 8 日那天开始每天 的出院人数等于入院人数。每天出院的人数呈现大幅波动的情况，从图表中可以直观 看出，这种波动基本上是以 7 天一个周期。医院每天平均出院人数为 8.12 人。 在该系统中，病人的平均到达率，系统的平均服务率。系统的服务8.698u 强度。在该系统中病人的平均到达率大于系统的平均服务率，该系统1.08621 u 无法达到统计平衡，这也就意味着等待住院病人队列却越来越长。 4.3 评价指标评价指标 人均等待时间：每个病人到达门诊时刻起到开始住院这段时间的平均值。 人均术前准备时间：每个病人入院时刻起到做手术这段

14、时间的平均值。 日均出院人数：每天从医院办理出院的病人数量。 5. 动态自适应排队模型的建立动态自适应排队模型的建立 医院的病床合理安排模型要求：1、改变原来的病床服务规则，采用新的病床服务 规则，以期减少病人的平均等待时间；2、通过合理安排病人入住顺序，减少病人的术 前准备时间，以提高系统的服务率，最终增加医院日均出院人数。 5.1 类型优先级的确定类型优先级的确定 本文对附录中 349 组已经出院病人和 79 组入院但未出院病人的样本数据，统计分 析每组数据的手术前准备时间。下表描述的是有多余术前准备时间的数据。 6 类型术前准 备时间 多余术前 准备时间 出现 频数 占样本总 数的频率

15、白内障（双）7510 0.02 白内障（双）649 0.02 白内障（双）5321 0.05 白内障（单）536 0.01 白内障（双）4211 0.03 白内障（单）4212 0.03 白内障（双）3113 0.03 白内障（单）3113 0.03 合计-950.22 表 5-1 有多余术前准备时间的频数分布表 表格说明：样本数据中 22%的病人有多余术前准备时间，这些病人都是白内障患 者。出现多余术前准备时间是因为白内障手术只能在周一、周三进行。 本文将一周划分为三个时段：周六、周日为一个时间段，周一、周二为一个时间 段，周三到周五为一个时间段。 分析如下：第一，白内障（双眼）的手术时间只

16、能在周一和周三，且术前准备时 间只需 1-2 天，因此周六、周日病床安排的有限优先级为：白内障（双）白内障（单） 青光眼、视网膜疾病；第二，周一、周二时，白内障（单眼）优先级别升高，白内障 （双眼）的优先级别降到最后，因为此时若让白内障（双眼）患者入院，他们的术前 准备时间将为 6-7 天，所以有限优先级为：白内障（单）青光眼、视网膜疾病白内 障（双） ；第三，同理可得，周三到周五的有限优先级为：青光眼、视网膜疾病白内 障(双) 白内障（单） 。 本文根据以上级别定性分析，并对有限优先级取，然后进行归一化处理得到(3,2,1) 有限优先级的优先系数。 入院时间类型优先级 优先系数 i 1/ 2

17、1/31/6 周六、周日外伤白内障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病 周一、周二外伤白内障（单）青光眼、视网膜疾病白内障（双） 周三到周五外伤青光眼、视网膜疾病白内障(双) 白内障（单） 表 5-2 类型优先级 7 5.2 动态自适应排队模型建立的总体流程动态自适应排队模型建立的总体流程 图 5-1 模型建立流程图 5.3 模型的构建和相关参数的定义模型的构建和相关参数的定义 结合医院现有的流程特点，构建了如图所示的动态自适应排队模型3。 图 5-2 动态自适应排队模型 周六和周日的情况下，病人所属类型的优先级别为白内障（双）白内障（单） 青光眼、视网膜疾病（其他情况详见表 4-1） ，这种

18、限度不仅考虑两类病人已经等待的 时间，还要考虑等待的三类病人的数量。其中青光眼和视网膜疾病所占的比例越多时， 对于白内障的优先程度应该逐步降低。病人入院优先级计算公式3如下： (5-1) 123iiii fataa 由相应的影响因子及其权重确定 ： i f 第 1 项表示病人入院的优先与等待时间有关。其中： 为某病人当前已经等待的 i t 8 时间； 为病人等待时间的优先权重，等待时间长的病人应该优先处理，最终的就诊 1 a 序列也适当提前。 第 2 项中， 为对于病人比例的权重。 i 该类病情等待入院的总病人数 等待队伍总病人数 2 a 第 3 项表示病人入院的综合优先指标与病人有限优先级有

19、关，表示不同类型病 i 人优先级（详见表 4 -1） ， 对有限优先级高的病人，在服务上给予优先照顾；为病 3 a 人类型有限优先的权重。 （）且。 123 1aaa 123 ,0,1a a a 5.4 权重的确定权重的确定 权重的大小直接影响着病人在系统中的相对次序，对病人的服务产生重要影响， 不同的权重会导致完全不同的结果。权重一般可以根据经验或优化方法获得，本文采 用层次分析法4 ( AHP) 获得。 有限度优先分 3 种情况进行相关设置。权重采用层次分析法 ( AHP) 获得。对评 价指标相对重要度进行两两比较，记为。 ij a 关于如何确定的值，引用数字 19 及倒数作为标度。下表列

20、出了 19 标度的含 ij a 义 标度含 义 1 3 5 7 9 2，4，6， 8 倒数 表示两个因素相比，具有相同重要性 表示两个因素相比，前者比后者稍重要 表示两个因素相比，前者比后者明显重要 表示两个因素相比，前者比后者强烈重要 表示两个因素相比，前者比后者极端重要 表示上述相邻判断的中间值 若因素 与因素的重要性之比为，那么因素与因素ij ij aj 重要性之比为。i ij ji a a 1 表 5-3 AHP19 标度 从而得到以下一组判断矩阵： ij a 1 a 2 a 3 a 1 a 154 9 2 a 1/511/2 3 a 1/421 表 5-4 判断矩阵 根据判断矩阵，先

21、计算判断矩阵的特征向量，然后经过归一化处理，即可求出权 重。 最后对于判断矩阵要判断它的相容性和误差分析，进行一致性检验和修正。本文通过 MATLAB 编程实现权重的求解（程序见附录二） ，解得权重为： 123 0.68,0.12,0.20aaa 动态自适应排队模型的病人入院优先级计算公式： 0.680.120.2 iiii ft 入院时间类型优先级 优先系数 i 1/ 21/31/6 周六、日外伤白内障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病 周一、二外伤白内障（单）青光眼、视网膜疾病白内障（双） 周三、四、五外伤青光眼、视网膜疾病白内障(双) 白内障（单） 表 5-5 类型优先级 值 i 5.

22、5 问题二的求解问题二的求解 根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。本文应用 上述模型来安排 9 月 12 日的优先入院顺序。已知 2008 年 9 月 12 日为周五，对 102 位 等待入院病人的数据利用模型计算，优先入院的前 20 位见表 5-6。可以发现 97 号的外 伤以绝对优先权入院；而 1 号、6 号、7 号、9 号的白内障患者的入院顺序有所后调， 因为白内障患者若周五入院，则须等待 3 天做手术。若让他们推迟 1-2 天入院，不仅 可以让出床位给需要更多术前准备时间的视网膜疾病和青光眼患者，而且也缩短了自 己的术前准备时间，而对他们的出院时间没有影响。

23、至于推迟 1-2 天他们是否能入院的问题，由于每天都有不同数量的病人出院，且 他们的优先等级提高，所以 1-2 天后入院基本没有问题。 至此，可以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。 出院几人就可以让前几人入院。 序号类型门诊时间已等待时间 f1 优先入院顺序 97 外伤 2008-9-11111 10 2 视网膜疾病 2008-8-30130.850592 3 青光眼 2008-8-30130.850593 4 视网膜疾病 2008-8-30130.850594 5 视网膜疾病 2008-8-30130.850595 8 青光眼 2008-8-31120.79675

24、6 10 视网膜疾病 2008-8-31120.796757 11 视网膜疾病 2008-8-31120.796758 12 视网膜疾病 2008-8-31120.796759 13 青光眼 2008-8-31120.7967510 1 白内障(双眼) 2008-8-30130.7944611 6 白内障(双眼) 2008-8-30130.7944612 15 视网膜疾病 2008-9-1110.742913 16 视网膜疾病 2008-9-1110.742914 17 青光眼 2008-9-1110.742915 21 视网膜疾病 2008-9-1110.742916 23 视网膜疾病 20

25、08-9-1110.742917 24 视网膜疾病 2008-9-1110.742918 9 白内障(双眼) 2008-8-31120.7406119 7 白内障 2008-8-31120.701120 表 5-6 9 月 12 日前 20 位优先入院顺序 5.6 MATLAB 编程实现病人入院动态排序及计算评价编程实现病人入院动态排序及计算评价 本文利用 MATLAB 编程实现病人入院动态排序及计算评价指标。观察分析已给数据 发现，7 月 25 日才是 7 月 11 日后普通门诊病人第一次入院的时间，所以统计出院人数 情况的初始时间为 7 月 25 日。7 月 25 日时 79 张病床的病人

26、出院时间表，如下： 月份7 月8 月 日期252627282930311234567 出院人数4811119756744111 表 5-7 7 月 25 日时 79 张病床的病人出院时间表 5.6.1 程序前准备： 11 设计该 MATLAB 程序前需要在 EXCEL 中计算提取出 1、病人编号 2、已经等待的时间 3、手术后到出院前的时间 5.6.2 算法步骤设计： 步骤一.确定是否有外伤病人 a、有：外伤人住院，进入下一循环选择；b、无：进入步骤2 步骤二.查看该日期是星期几，接着根据相应的规则计算各 123iiii fataa 类型病人相应的值 i f 步骤三.比较各值大小，确定应该入院

27、名额属于哪个类型的队首。 i f 步骤四.依据表5-8，确定术前准备时间。 病种类白内障白内障（双眼）其他眼科病 星期kK=1或k=2其他 K=17 K=1或k=6其他 术前准备时间 (天) 3-K8-k8-k32 表5-8 确定术前准备时间方法 步骤五.计算得出该病人出院日期，在出院日期人数矩阵中的相应位置中增加一个 当日出院名额。 5.6.3 程序结果及分析对比： 1、可以得到动态自适应模型下 7 月 25 日到 8 月 28 日的所有病床重新安排表（见 附录六） 2、输出日均出院人数： 由于 8 月 8 号前还有以前的 FCFS 规则下出院的病人，所以择取 8 月 8 日到 8 月 28

28、 日三周的时间作为统计数据周期，该周期内调整后日均出院人数=8.9048 人，调整前 =8.6238 人，日均增加了 0.2810 人出院。 3、输出平均术前准备时间： 以 7 月 25 日到 8 月 28 日为统计数据，得出的结果为: 平均术前准备时间（天） 白内障（单眼） 白内障（双眼）其他眼科疾病外伤 原始2.3753.752.3831.00 调整顺序后2.0232.742.251.00 表5-9 平均术前准备时间对比表 12 6.问题三的求解问题三的求解 作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。根据当时住院病人及等待住 院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 6

29、.1 预告入院时间计算步骤预告入院时间计算步骤 步骤一：本文利用问题二建立的病人入院优先级计算模型，（ 123iiii fataa )计算出该病人在进入队列后，在队列中的入院优先次序号 N。 123 0.68,0.12,0.20aaa 步骤二：根据日均出院人数 u，计算出排在该病人前面的病人需要多少天可以入院完毕。 考虑到外伤有绝对优先权等原因，从而估计该病人大致入住时间区间（取正负各一天， 并两边取整） 。(1)/1,(1)/1NuNu 步骤三：最后根据该病人的患病类型在一周内的优先次序做适当的调整。例如，白内 障（双眼）最好在周六、周日入院；白内障（单眼）最好在周六、周日、周一或周二 入院

30、。 6.2 实例计算实例计算 6.2.1 算例 1： 现在的情况下，还有 102 位患者正在排队等候入院，例如对第 102 位患者的大致 入住时间区间。 首先利用病人入院优先级计算模型， 计算出该病人在进入队 123iiii fataa 列后，在队列中的入院优先次序（详见附录四） 。第 102 位在队列中的新次序号为 90， 意味着他的前面还有 89 位患者等待入院。再根据问题二中计算的日均出院人数为 8.78 人，可以估计这第 102 位患者大致的入住时间区间为9,12天后。 新序号原序号类型门诊时间 f1 优先入院顺序 90102 视网膜疾病 2008-9-11 （周四） 0.204449

31、0 表 6-1 第 102 位患者数据 最后根据该病人的患病类型在一周内的优先次序做适当的调整：2008 年 9 月 11 日 是周四，9 天后是周六，12 天后是周二，对于视网膜疾病的患者可以不作调整，即入 住时间区间为9,12天后。 13 6.2.2 算例 2： 现在的情况下，还有 102 位患者正在排队等候入院，例如对第 98 位患者的大致入 住时间区间。 首先利用病人入院优先级计算模型， 计算出该病人在进入队 123iiii fataa 列后，在队列中的入院优先次序（详见附录四） 。第 98 位在队列中的新次序号为 101， 意味着他的前面还有 100 位患者等待入院。再根据问题二中计

32、算的日均出院人数为 8.78 人，可以估计这第 98 位患者大致的入住时间区间为10,13天。 原序号类型门诊时间 f1 优先入院顺序 92 白内障(双眼) 2008-9-11 （周四） 0.1483101 表 6-2 第 98 位患者数据 最后根据该病人的患病类型在一周内的优先次序做适当的调整：2008 年 9 月 11 日是周 四，10 天后是周日，13 天后是周三，对于双眼白内障的患者最好在周六、周日入院， 即入住时间区间为9,10天。 7.问题四的求解及分析问题四的求解及分析 7.1 问题四求解问题四求解 对于“该住院部周六、周日不安排手术，医院的手术时间安排是否应作出相应调 整？”的

33、问题。结合以下条件： 1.白内障，术前准备时间只需 1、2 天；如果要做双眼中间隔一天。 2.外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 3.其他眼科疾病，大致住院以后 2-3 天内就可以接受手术，术后的观察时间较长。 这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在做白内障手术的日子，且不考虑急 症。 入院时间类型优先级 优先系数 i 1/ 21/31/6 周日、一外伤白内障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病 周二、三外伤白内障（单）青光眼、视网膜疾病白内障（双） 周四、五、六外伤青光眼、视网膜疾病白内障(双) 白内障（单） 表 7-1 周二、周四安排白内障手术的

34、情况 14 入院时间类型优先级 优先系数 i 1/ 21/31/6 周一、二外伤白内障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病 周三、四外伤白内障（单）青光眼、视网膜疾病白内障（双） 周五、六、日外伤青光眼、视网膜疾病白内障(双) 白内障（单） 表 7-2 周三、周五安排白内障手术的情况 通过分析比较，选择周三、周五安排白内障手术较好。 根据问题二的模型，病人入院综合优先指标计算公式如下： （权重） 123iiii fataa 123 0.68,0.12,0.20aaa 7.2 模型稳定性分析模型稳定性分析 本文对问题二建立动态自适应排队模型及其病人入院综合优先指标计算公式，应 用于问题四，由于周

35、六、周日不安排手术，导致其他眼病手术天数变少，且他们的入 院日子需要调整。经过分析，将周一、三做白内障手术，调整为周三、五做，同时调 整不同时段、不同类型病人有限优先级，实现动态自适应排队模型的移植。从而说明 本文所建立的病人入院优先级计算模型具有较高的稳定性和移植性。 8.问题五的求解问题五的求解 8.1 问题分析问题分析 本题可以转化为多队列多服务台的排队系统问题，设第类病人分别(1,2,3,4,5)i i 为：白内障（单眼） 、白内障(双眼)、青光眼、视网膜疾病、外伤。分别求出每个小系 统内病人的平均逗留时间，然后根据每类病人占总病人的权重对小系统病人的平均逗 留时间进行加权平均。 8.

36、2 模型的建立与求解模型的建立与求解 基本假设：每个小系统都是排队模型且都能达到平稳状态。/MMS 根据基本假设：1、病人的相继到达时间服从指数分布，平均值为，(1,2,.,5) i i 单位：人/天。2、整个系统的服务时间服从指数分布，平均值为，单位：(1,2,.,5) i i 人/天。为第 个系统服务台的个数。(1,2,.,5) i s i i 15 系统的服务强度：。记为系统到达平 i i i )(1,2,.5;0,1,2.) in pP Nnin 稳状态后队长的概率分布。现在不加证明地引用排队问题的结论1。N/MMS ，其中 （8- 0 0 1,., ! ! i n i i inn i

37、 i n s ii pns n p pns s s 1 1 0 0 ! !(1) ii ssn ii i in i i p n s s 1） 对于多服务台等待制系统，平稳状态下队列的平均队长： (8-2) 0 2 (i=1,2,.5) !(1) i s i i i iqi i i i s Lp s s 系统中正在接受服务的病人平均数，该式子说明平均在忙的服务台个数不 ii s 依赖于服务台个数。 i s 平均队长，对于多服务台系统，公式仍然成立，因此病人在 iiqi LL little 系统中的逗留时间。 (1,2,.5) i i i L Wi 记每类病人占总病人的权重为。建立以下排队系统服务

38、台数量优 i q(i =1, 2, . . . , 5) 化模型： 5 1 5 1 min ii i ii i qW sss (i =1, 2, . . . , 5) ，取整数 1 1 2 0 / ! !(1)!(1) i ii s i issn iii iii iin ii ii s W n ss ss 模型中可以根据统计数据获得，权重为也可以根据统计数据获得。 i i i i q 16 为医院的病床总数。 s 令，对该数据进行讨论，只有当，即每个系统服 (1,2,3,4,5) i is i i s 1 is 务台数大于每个系统的服务强度时，系统才能处于平稳状态。 本优化模型为整数规划，可以

39、通过 MATLAB 编程实现。根据对附录中数据的处 理得到以下数据。 i 12345 第 类病人平均门诊人数i i 1.62 2.15 1.03 2.79 1.05 第 类病人平均住院天数i 5.24 8.56 10.49 12.54 7.04 第 个系统的服务率i i 0.19 0.12 0.10 0.08 0.14 第 个系统的服务强度i i 8.49 18.40 10.83 34.99 7.39 第 类病人的权重i i q 0.18 0.24 0.31 0.11 0.15 表 8-1 各类系统的服务强度和各类病人的权重 MATLAB 程序计算结果如下： 病床数量(单位：张） 828384

40、85868788 最短逗留时间(单位：天) 17033.5717.3315.241412.9111.9 表 8-2 不同数量病床下病人最短平均逗留时间 不同数量病床下病人最短平均逗留时间 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 82838485868788 病床数量（单位：张） 逗留时间（单位：天） 观测该图，发现在所选定得每天平均门诊病人数以及各个子系统的服务率的条件 下，MATLAB 编程分别求出在不同病床数量下系统中所有病人的平均逗留时间。如果 17 想要让所有病人的平均最短逗留时间缩小，只能增加床位，床位选取为 85 张比较合适。 85 张病床条件下，各类病

41、人病床分配数量、各类病人在系统中的逗留时间如下。 第 类病人i 12345 各类病人病床分配数量 92012368 各类病人逗留时间 13.611.9216.3422.615.89 8.3 模型结果评价分析模型结果评价分析 本模型得出的最优病床数量多于医院原来的病床数量。产生这种情况的原因：已 知变量的统计误差、每个系统的服务率指标采用样本（大系统）的数据进行样本点估 计得到。因此，可通过改变服务时间的方差来缩短平均队长，当且仅当服务时间的方 差，即服务时间为定长时，平均队长、等待时间可减少到最少水平。 2 0 本文假设将大排队系统分成五个小排队系统，服务效率分别提高 1%，2%，3%，12%

42、，病床数为 79 张条件下，修改 MATLAB 程序得到系统平均逗 留时间数据如下。 系统服务率 提高比例(%) 所有病人平均 逗留时间(天) 各类病人的平均逗留时间各类病人病床分配 652.46(8.21,18.6,18.95,21.45,255.2) (9，18，11，34，7 ) 717.48 (7.8，15.91，17.52，48.1，10.23 ) (9，18，11，33，8 ) 814.42 (7.45，14.15，16.38，28.47，9.8 3) (9，18，11，33，8 ) 913 (7.15，12.9，15.44，22，9.46) (9，18，11，33，8 ) 101

43、2.09 (6.88，11.91，14.66，18.75，9.1 4) (9，18，11，33，8 ) 1111.41 (6.64，11.24，14，14.79，8.85) (9，18，11，33，8 ) 1210.86 (6.43，10.65，13.42，15.47，8.5 9) (9，18，11，33，8 ) 表 8-3 服务率提高后，病床分配模型求解结果 计算结果省略了五行数据，即服务效率提高 1%-5%，其原因是在这五种情况下， 系统长期不可能处于稳定状态。当系统服务率提高比例超过 6%之后，系统长期就可以 处于稳定。 表 8-3 的第二列体现服务率提高比例对所有病人平均逗留时间的影响

44、。 18 服务率提高后所有病人逗留时间 0 10 20 30 40 50 60 6789101112 系统服务率提高比例 所有病人平均逗留天数 随着系统服务率的不断提高，所有病人平均逗留时间不断减少，并且减少的速度 越来越慢。 不考虑统计数据的误差，总病床为 79 张条件下，病床数量分配模型的结果如下： 病情类型分配病床数 白内障（单眼） 9 白内障（双眼） 18 青光眼 11 视网膜疾病 33 外伤 8 合计 79 表 8-4 不同病情所分配的病床数 19 9.模型评价与改进模型评价与改进 本文所建立的动态自适应排队模型及病人入院的动态优先级计算公式，来调整等 待入院病人的病床安排顺序，以达

45、到缩短术前准备时间，提高日均出院人数，并且考 虑了对不同类型之间以及同类型之间的公平性原则。同时应用 MATLAB 编程实现当前 等待住院病人的动态排序，并可以计算出平均出院人数、平均逗留时间、术前准备时 间等评价指标。 本文在利用层次分析法确定权重系数时，由于时间和条件的限制，判断矩阵还可 以改进（例如发放调查问卷进行专家打分等） 。 参考文献参考文献 1 姜启源等，数学模型（第三版） ，北京：高等教育出版社，2003。 20 2 赵卫亚，计量经济学教程，上海：上海财经大学出版社，2003。 3 张杰等，运筹学模型与实验，北京：中国电力出版社，2007。 4 韩明等， 数学实验，上海：同济大

46、学出版社，2009 。 5 胡运权等， 运筹学教程， 北京：清华大学出版社，2007。 附附 录录 附录一 程序一：泊松分布拟合检验 A=2 2 5 7 8 6 11 3 5 4 32 2 1 ;alpha=0.05; lamda=poissfit(A,alpha)；%求最大似然估计 p3=poisscdf(A,lamda)；%求累计概率分布Poisson H3,s3,kst=kstest(A,A,p3,alpha)；%卡方检验 if H3=0 disp(该数据源服从泊松分布。) else disp(该数据源不服从泊松分布。) end 程序二：负指数分布拟合检验 A=9 16 33 41 38

47、 28 29 37 36 23 22 15 8 9 3 2 ; alpha=0.05; mu=expfit(A,alpha); p4=expcdf(A,mu); H4,s4=kstest(A,A,p4,alpha) if H4=0 disp(该数据源服从指数分布。) 21 else disp(该数据源不服从指数分布。) end 附录二 层次分析法的权重计算 clc;clear all; a=1 5 4 1/5 1 1/2 1/4 2 1; x,y=eig(a) eigenvalue=diag(y) lamda=eigenvalue(1) ci1=(lamda-6)/5;cr1=ci1/1.24

48、 w1=x(:,1)/sum(x(:,1) 附录三 MATLAB 编程实现病人入院动态排序及计算评价指标 function shuxue clear all;clc %编号 已等待天数 手术到出院天数 x=xlsread(jisuanziliao.xls,baidan,a2:a80); y=xlsread(jisuanziliao.xls,baidan,b2:b80); z=xlsread(jisuanziliao.xls,baidan,c2:c80); baidan=x y z; x=xlsread(jisuanziliao.xls,baishuang,a2:a105); y=xlsread(jisuanziliao.xls,baishuang,b2:b105); z=xlsread(jisuanziliao.xls,baishuang,c2:c105); baishuang=x y z; x=xlsread(jisuanziliao.xl