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1、动态规划模型下的眼科病床的优化设计摘要：目前，群众看病难已成为最突出的社会问题之一。排队现象是由于病人对医院服务的需求远远大于医院所提供的服务。这说明医院的管理缺乏合理性、科学性和高效性。本文运用动态规划的方法，通过建立数学模型，借助Matlab软件计，制定出相对合理的病床安排方案。确定的评价指标体系为，一定时间段内安排入院总人数越多越好以及等待入院病人的排队长度越短越好。依据这个评价体系，我们建立了动态规划模型：模型经过调整优化后的眼科病人入院人数比原先平均每天增加2人次，最后一定时间段内增加了59人次，而且系统队伍不断缩短，病人等待时间也逐渐减少。依据门诊各类病人到达频率及住院部每周出院人
2、数，对患者提出最佳就诊日期的建议。病人按照此建议前来就诊，一般情况下一周之内即可入院(参见附录1)。医院根据住院的所有情况还可以推测就诊病人的大致入院时间。在周六周日不安排手术的情况下，根据白内障双眼的治疗方法，最终确定周二、周四进行白内障手术。最后，根据病床利用率和入院人数成正比拟得分配函数：由此得出各类病人占用病床的比例大致固定的方案为白内障、白内障双眼、青光眼、视网膜疾病和外伤的床位数为：7、14、12、37、9。关键词：动态规划、排队系统、入院人数、系统长度、等待时间 一、 问题的重述任何排队现象都有可能导致严重的无效率。而医院排队现象更是司空见惯，看病难已成为当今中国社会的一个重大问
3、题。排队现象是由于供给和需求的不平衡造成的。要改善这一情况，要么增加医疗设备和医务人员，要么减少病人。可是病源是无限的，同时增加设备会明显增加医院成本，因此医院希望能通过建立数学模型，提出关于合理安排病床的方案，以提高对医院资源的有效利用。本医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。现住院部共有79张病床，门诊部每天都上班。白内障手术比较简单，而且没有急症。一般安排在周一和周三做手术。手术前需准备1-2天。据统计，白内障双眼的病例要比单眼的多，大约占60%。为有效利用医疗资源，白内障双眼周一先做一只眼，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，只要有空床位立即安排入院，住院后第二
4、天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，情况各异，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察期较长。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科住院部原则上按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，由于医院条件比较充分，因此只需考虑病床的空缺和手术医生的安排。通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用
5、问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、 符号说明16：某一段时间：时间T内第i天住院的人数：时间段T内入院总人数：一定时期内来门诊的总人数：各种眼科疾病对病床的需求
6、量，其中：各种眼科疾病患者所占的比重，其中：一定时期内各类眼科疾病的病床循环次数，其中三、模型的假设1、患者的到达是相互独立的，相继到达的时间间隔是随机的，一定时间的到达服从Poisson分布。2、病人源是无限的。3、患者诊治时间是相互独立的，服从负指数分布。4、多服务台间并联排列，各服务台独立工作。（如图1所示）5、患者手术前，白内障需要准备一天，其余准备两天。图1 患者被服务流程四、模型的建立 针对希望提高医院资源的有效利用的目的，我们希望在一个周期内使得住院的人数达到最多【】【】。具体模型如下： 借助Matlab软件分析数据，可得各类型眼科疾病平均治疗时间如下：表二：各类型眼科疾病平均治
7、疗周期类型平均住院天数白内障5.24白内障双眼8.56青光眼10.49视网膜疾病12.54外伤7.04考虑手术实际实施时间，即周一、周三只安排白内障手术（除急症外）。如果星期天有床位，根据周期长短，则优先安排白内障（双眼）患者入院，若白内障（双眼）能够安完再逐个安排白内障入院，若全部安排完白内障再安排青光眼和视网膜疾病 。根据数据统计分析，青光眼和视网膜疾病的出现比率为1：3。因此在有空床的情况下按照该比率安排各入院人数，如果没办法一次性安排完，则在此前提下按FCFS原则安排病人入院。由于外伤属于急症，随机性强且每天极少会出现3例以上。因此暂不考虑外伤，提前分好两张病床专门给治疗外伤的外伤算法
8、【】：1、如果星期一、二有空床位，则优先安排白内障病人入院，安排完白内障后安排青光眼和视网膜疾病，最后若还剩下空床位其次安排白内障双眼。1、 如果星期三、四、五有空床位，则优先安排青光眼和视网膜疾病病人入院，若安排完后还有剩余病床，则其次安排白内障单眼和双眼入院。在优先病人群体中，青光眼和视网膜疾病按照1:3的比例安排入院；剩余病人群体中按FCFS原则安排入院。2、 如果星期六、天有空床位，则优先安排白内障双眼，次优先白内障，其次是青光眼和视网膜疾病。直至空病床全部用完，停止安排入院。（见表一）表一：安排病床优先顺序的原则白内障白内障（双眼）青光眼视网膜疾病星期一优先其次次优先次优先星期二优先
9、其次次优先次优先星期三次优先次优先优先优先星期四次优先次优先优先优先星期五次优先次优先优先优先星期六次优先优先其次其次星期日次优先优先其次其次五、 模型的求解问题一：评价指标体系：1、T时间内安排入院总人数越多越好 2、等待入院病人的排队长度越短越好。 问题二：模型优化后病床安排如下，在时间T内重新安排病床的部分情况（见表三，详细情况见附录二）。表三：在时间T内重新安排病床的部分情况 单位：人等待住院的人数空的床位白内障白内障双眼青光眼视网膜2008年8月8日（周五）1201421302049安排的病人类别及数量004102008年8月9日（周六）1181822311642安排的病人类别及数量
10、018002008年8月10日（周日）99824151743安排的病人类别及数量08002008年8月11日（周一）9752481847安排的病人类别及数量50002008年8月12日（周二）99122111848安排的病人类别及数量10002008年8月13日（周三）111322161954安排的病人类别及数量00122008年8月14日（周四）103722191953安排的病人类别及数量00252008年8月15日（周五）117423211953安排的病人类别及数量00132008年8月16日（周六）1173924241851安排的病人类别及数量1524002008年8月17日（周日）82
11、6921853安排的病人类别及数量42002008年8月18日（周一）862941954安排的病人类别及数量20002008年8月19日（周二）988982061安排的病人类别及数量80002008年8月20日（周三）912252065安排的病人类别及数量00022008年8月21日（周四）9429352066安排的病人类别及数量00425将2008年8月8日至2008年9月11日的数据带入模型，可得这段时间内可安排住院病人333人，较以前的原则所安排的274人，增加了59人。问题三：根据调整后的方案和原则安排病人入院，安排情况见附录二。病人入院的速度越来越快，病人等待入院的队伍越来越短。因此
12、正常情况下（无突发紧急事故），病人入院时间是可以预测的。根据眼科疾病类型的治疗周期（见表一），和手术安排时间（即周一、周三做白内障手术），以及各类疾病就诊的频率，计算出周四和周五为白内障病人的出院高峰期。因此可以做出如下建议：1、 白内障病人（尤其是双眼）最好周六、日来就诊，单眼的还可以周一来，因为这几天是白内障优先日，只要有空床位就可优先安排入院。2、 青光眼和视网膜疾病病人建议周四、五来就诊。因为这两天是它们的优先日，且是白内障出院的高峰期，有大量的床位空出。3、 此外，建议白内障病人尽量避免周二、三来医院就诊，因为这两天非其优先日，如果入院等待手术时间太久会造成病床浪费，医院一般不会安排
13、白内障今天入院。病人按照此建议前来就诊，医院根据门诊情况及目前住院病人情况就可推算出该病人大致的入院时间，一般情况下一周之内即可入院。问题四：现假设各类疾病的正常住院时间分别为白内障4天，白内障双眼6天，青光眼11天，视网膜疾病13天。（这里的正常住院时间可理解为该疾病的最短最优疗效的住院时间）。表中统计数据，0表示该疾病该天入院的住院时间等于正常住院时间，1、2、3、4分别表示该疾病病人实际住院时间比正常住院时间多的天数。若周六、周日不安排手术，我们根据是否改变白内障手术时间制定了如下三个方案：方案一：周一、周三做白内障手术，包括单、双眼（见表四）。方案二：周二、周四做白内障手术，包括单、双
14、眼（见表五）。方案三：周三、周五做白内障手术，包括单、双眼（见表六）。 表四：方案一 单位：天白内障白内障双眼青光眼视网膜疾病星期一1111星期二0000星期三4400星期四3333星期五2222星期六1111星期日0000表五：方案二 单位：天白内障白内障双眼青光眼视网膜疾病星期一0000星期二1111星期三0000星期四4422星期五3311星期六2200星期日1111表六：方案三 单位：天白内障白内障双眼青光眼视网膜疾病星期一1111星期二0000星期三1433星期四0322星期五4411星期六3300星期日2200 从以上方案中容易得到各方案的总的非手术准备多等待的天数，分别为：36天
15、，32天，42天。根据评价指标体系及模型求解，最佳方案为方案二。方案二的病床安排优先顺序原则为（见表七）：表七：病床安排优先顺序白内障白内障双眼青光眼视网膜疾病星期一次优先优先其次其次星期二优先其次次优先次优先星期三优先其次次优先次优先星期四其次次优先优先优先星期五其次次优先优先优先星期六次优先次优先优先优先星期日次优先优先其次其次根据以上数据分析，如果周六、日不安排手术，除原定星期六、日手术的青光眼和视网膜疾病推迟两天出院外，其余患者出院时间不变，则原定方案不再最优，病床安排方案进一步调整见表七。建议手术时间调整为每周周二、周四进行白内障手术。问题五：依据病床利用率和安排入院人数成正比。同时
16、，又从降低管理成本的角度出发，按照各类病人占用病床的固定比例安排病床。现假设目前医院有79张病床，无病人住院，病人当天门诊当天入院。拟得病床分配函数： (1)首先，根据数据分析求得各种疾病的平均逗留时间及其权重。（见表八）表八：各种眼科疾病的平均逗留时间及其权重 眼科疾病类型 平均逗留时间最短各种疾病患者的比重白内障141887%白内障双眼2625.09%青光眼31111.87%视网膜41332.08%外伤5812.08%然后，把相应数据带入函数（1），解得:=530*0.1887*4/60=6.677=530*0.2509*6/60=13.3014=530*0.1187*11/60=11.5
17、312=530*0.3208*13/60=36.8437=530*0.1208 *8/60=8.549采取进一法得=79由此得出病床分配比例，白内障、白内障双眼、青光眼、视网膜疾病和外伤的床位数为：7、14、12、37、9。 六、 模型评价及对策该模型的优点就是能追求病床的最大使用率，即入院人数越多越好。根据每种类型的眼科疾病治疗周期的长短，优先安排短周期疾病患者入院。由于短周期疾病在医院逗留时间也短，因此在一段时间内病床被利用的频率就增加。同时，也减短了病人排队等待的时间。同时模型还坚持一个原则，那就是根据每天出院的人数安排每类入院的人数，而这些被安排的每类人中按先来后到的原则进行，做到了效
18、率与公平的兼顾。在模型中，由于原来的不合理安排导致累计了大量的患者，我们不仅需要处理以前等待的病患者，还需要处理当天就诊的患者。从而使得前一阶段的病人在门诊到住院经历了较长的时间，有的甚至比以前的时间更长一些，随着前面累计的人和新住院的人在新的原则的条件下得到了较为合理的安排入院，使得后面等待入院的队伍逐渐减短，无论是从门诊到入院还是入院到出院，病人的等待时间都大大缩短。模型采取了动态规划方法，根据门诊病人数和住院部实际情况具体安排入院人数，比较符合实际，具有现实可操作性。同时模型也存在不足之处，比如有时候病人相对集中，医生工作量很大。而且在模型中我们没有考虑其它眼科疾病的急症。由于急症相对特
19、殊，具有临时随机性，因此不好提前安排。基于上述分析，对医院今后工作提出如下建议：（1）有效缩短平均逗留时间及其波动程度，提高效率，加快周转速度。（2）在现实中可以通过增加临时床位来满足最急切的需求，既能够节约时间有能够使迫切需要治疗的人得到安置。（3）医院应根据其科室实力适当增加床位数，完善设施和配备，解决排队成龙的现象，为病人排忧解难。 参考文献：1刁在筠、刘桂真、宿洁、马建华，运筹学，北京：高等教育出版社，20062罗润来、黄丽娜、成洪波、刘春明，某院眼科门诊就诊量的动态分析，中国医院统计，第10卷：234，2003 3韩新焕、朱萌纾、吴静，医院管理系统中排队模型的优化决策分析，医学数学模
20、型探索，第21卷：1617，20084杨骅、高及仁、程传苗，应用排队理论合理安排医院急症工作，中国医学管理，第19卷：1819，1999附录1：表三：在时间T内重新安排病床的部分情况 单位：人等待住院的人数空的床位白内障白内障双眼青光眼视网膜2008年8月8日1201421302049（周五）安排的病人00410类别及数量2008年8月9日1181822311642（周六）安排的病人01800类别及数量2008年8月10日99824151743（周日）安排的病人0800类别及数量2008年8月11日9752481847（周一）安排的病人5000类别及数量2008年8月12日9912211184
21、8（周二）安排的病人1000类别及数量2008年8月13日111322161954（周三）安排的病人0012类别及数量2008年8月14日103722191953（周四）安排的病人0025类别及数量2008年8月15日117423211953（周五）安排的病人0013类别及数量2008年8月16日1173924241851（周六）安排的病人152400类别及数量2008年8月17日826921853（周日）安排的病人4200类别及数量2008年8月18日862941954（周一）安排的病人2000类别及数量2008年8月19日988982061（周二）安排的病人8000类别及数量2008年8月
22、20日912252065（周三）安排的病人0002类别及数量2008年8月21日9429352066（周四）安排的病人00425类别及数量2008年8月22日692471612（周五）安排的病人0002类别及数量2008年8月23日74375101841（周六）安排的病人510517类别及数量2008年8月24日441021527（周日）安排的病人0010类别及数量2008年8月25日492321534（周一）安排的病人2000类别及数量2008年8月26日523331531（周二）安排的病人3000类别及数量2008年8月27日545141534（周三）安排的病人0023类别及数量2008年
23、8月28日579271434（周四）安排的病人0036类别及数量2008年8月29日560141534（周五）安排的病人0000类别及数量2008年8月30日6515521434（周六）安排的病人31200类别及数量2008年8月31日570311637（周日）安排的病人0000类别及数量2008年9月1日654341741（周一）安排的病人3010类别及数量2008年9月2日663351642（周二）安排的病人3000类别及数量2008年9月3日7125261647（周三）安排的病人00718类别及数量2008年9月4日5911391334（周四）安排的病人0038类别及数量2008年9月5日5834161127（周五）安排的病人0012类别及数量2008年9月6日59354181126（周六）安排的病人418310类别及数量2008年9月7日271601818（周日）安排的病人01510类别及数量2008年9月8日19341311（周一）安排的病人3000类别及数量2008年9月9日21331512（周二）安排的病人01510类别及数量2008年9月10日27644613（周三）安排的病人0015类别及数量2008年9月11日33458713（周四）安排的病人0013类别及数量