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1、一、换元积分法 二、常用的定积分公式及应用,第三节 定积分的换元积分,1.定理 设函数 在 上连续；函数 在 （或 ）上有连续导数； 当 在 在 （或 ）上变化时， 在 上变化，且 ， ， 则有,上式叫做定积分的换元公式.,一、换元积分法,证 设 ，,则,2.说明 (1)定积分的换元公式中，用 把原变 量 换成新变量 时（这如同不定积分第二类 换元），积分限也要换成相应于新变量 的积 分限，但 的对应值可能不唯一，只要任取一,值即可.,(3)换元公式也可反过来使用，即,(2)求出换元后的 的一个原函数 时，只要将新变量 的积分上下限分 别代入 中相减即可，不必象不定积分 那样再把 变成原变量
2、的函数 .,换元过程为 （这如同不定积分第一类 换元），且 , ;若此换元 过程是采用的凑微分法，没有写出新变量 ， 则不必换元，即,. 解 换元： ， ； 换限： ， ， ， ，,3.例题,例1 计算,所以没有换限.,例2 计算 .,解法1.,原式 .,解法2.,例3 计算 .,解,例4 设 求,解,2解,1.设 在 上连续，则,（1）若 为偶函数， ，,（2）若 为奇函数， ，,二、常用的定积分公式及应用,证,2.设 是以 为周期的连续函数，则,证,3.若 在 上连续，则,证,4.若 在 上连续，则,证,所以,解,例5 计算 .,5.例题,例6 计算 .,解 设 ,则,利用定积分公式得,例7 计算 .,解 被积函数 是以 为周期的连 续函数，利用定积分公式得,例8 计算 .,解 积分区间为 ，被积函数为 型，利用定积分公式得,