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1、第一章 复数与复变函数,1.1 复数及其运算 1.2 复平面上的曲线和区域 1.3 复变函数 1.4 复变函数的极限和连续性,1.1 复数及其运算,一、复数的概念,1、产生背景,二、复数的表示法,1、(复平面上的)点表示 -用坐标平面上的点,r,此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。,2、(复平面上的)向量表示-,（1）模 的长度 ，记为 ，则,（2）辐角( ) 与 轴正向的夹角 (周期性),辐角主值:,3、三角（或极坐标）表示-,欧拉公式,5、代数表示-,复数的各种表示可相互 转换在不同的运算中可 选择不同表示式 进行运算。,三、复数的运算,1、相等两个复数，当且仅当实部与虚
2、部分别相等时才相等。,2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角式、指数式,3、共轭复数及运算性质,z,四、复数的n次方根,答疑解惑,答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。 假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0和i加以讨论：,1、复数能否比较大小，为什么？,注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。,2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的 运算是否相同？,答：有相同之处，但也有不同之处。,加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算
3、有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。,典型例题,例1、判断下列命题是否正确？,（1） （2） （3）,（ ）,（ ）,（ ）,解（1）,（2）,（3）,(4),例3、求满足下列条件的复数z：,（1）,（3）,（2） 且,1.2 复平面上的曲线和区域,一、复平面上的曲线方程,二、简单曲线与光滑曲线,三、区域,1、去心邻域,3、区域及分类,2、内点与开集,区域连通的开集。,属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。,任意一条简单闭曲线 C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为 C的内部；无界区域，称为 C的外部； C，称为内部与外部的边界。,1.3
4、复变函数,一、复变函数的概念,1、定义,分类,讨论一个复变函数,研究两个实二元函数,3、复变函数的单值性讨论,教材P12 （例1.3.2),是否为单值函数,均为单值的实二元函数,是单值函数吗？,，均为多值的实二元函数,方法二、 见教材,二、映射,复变函数的几何图形表示,函数在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点集 G （定义域）变到 w 平面上的一个点集 G *（值域）的一个映射（或映照）。,与 G 中的点为一一对应,映射为双射,典 型 例 题,解 (1),乘法的模与辐角定理,How complex the expression are!,是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图c1),其是以
5、原点为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。,解法一（1）,消 x, y 建立 u, v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程,（2）,代入原象曲线方程，得,w平面内的一条直线。,解法二,代入原象方程得,化为实方程形式,（2）留作练习。, 1.4 复变函数的极限和连续性,本章难点与重点,注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数； 几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射； 代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。,在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。,