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1、系统工程,第一节 预测的概念 定性分析预测法 时间序列预测法 回归分析预测法,预测方法,7 Forecasting Theory A time series is a sequence of observations of a periodic random variable. Examples are the monthly demand for a product, the annual freshman enrollment in a department of the university and the daily flows in a river. Time series are
2、important for operations research because they are often the drivers of decision models. An inventory model requires estimates of future demands, a course scheduling and staffing model for a university department requires estimates of future student inflow, and a model for providing warnings to the
3、population in a river basin requires estimates of river flows for the immediate future.,7.1.1 基本概念 7.1.2 预测的分类,第一节 预测的概念,7.1.1 基本概念 可以把预测（forecasting）解释为由过去推测未来。预测是为决策提供作为依据的信息，预测值是对未来数据值的无偏估计，而对未来数据值的主观估计则称为“预言”。尽管如此，当主观估计确实可靠时，也应该对无偏估计进行修正，因为一个无偏估计值未必有效地预测到将来发生的意外事件。 要想提高预测的可信性，最重要的条件是掌握足够的能真正反映事物
4、发展规律的资料、数据、信息等，这是预测的基础和前提。 人们对所研究事物的深刻了解，丰富的实践经验，敏锐的观察力和卓越的判断能力对于科学的预测也是非常重要的。 自六十年代初以来，工商企业使用预测技术的比例一直在稳步增长。没有任何一项其它技术得到预测技术这样广泛的应用，这已成为公认的事实。 随着预测技术应用的发展，理论学家同时也提供了多种多样可供选择的预测模型。,7.1.2 预测的分类 按照预测的对象，可把预测分为： 1. 社会、经济发展预测 如人口增长，社会就业，教育发展等，宏观经济,如国民经济发展速度，工业总产值，社会消费水平等；微观经济，主要是企业或局部经济问题方面的预测。 2. 科学技术预
5、测 科学技术发展趋势，可能出现的科技成果，应用范围的预测。 3. 市场需求预测 是技术经济预测的一个重要方面，主要是预测国内外市场对产品品种、质量和数量的需求，以便决定产品的生产数量、产品的寿命周期和品种的更新换代等。 4. 军事预测 武器装备发展趋势，未来战争的规模和特点，参战各方的战略目标和兵力部署，爆发战争的可能性和时间、地区，未来战争的可能结果，给人类或国家带来的影响等方面的预测。,按照预测的性质，可把预测分为： 1. 定性预测 一般用于数据资料不足，或不完全依靠数据资料的预测，如对技术发展和经济发展趋势等宏观题预测，常用方法有专家调查法等。 2. 定量预测 它是建立在历史数据资料基础
6、上的预测，不直接依靠人的主观判断，故一般定量预测的结果比定性预测的结果更可靠。定量预测常用的方法有：时间序列法、因果分析法等。 3. 综合预测 它是兼用定性预测和定量预测，以便使预测的结果更全面、更准确。因为任何一种方法都有一定的适用范围和局限性。 预测按时间的长短分为短期预测、中期预测和长期预测。对于不同的预测对象，预测期限的划分不一样。一般地，经济预测年内为短期；13年为中期；35年以上为长期。再比如，能源预测，以常规能源被新能源接替来估计，则15年为短期；1020年为中期；4050年为长期。,7.2.1 专家调查法 预测的准确性主要取决于专家的知识和经验。专家预测法分为个人预测和集体预测
7、。专家的人数根据预测的问题而定。人数过少容易片面，人数过多意见不易集中。 1. 专家个人预测 首先向专家们提问，同时提供有关信息。然后由专家们独自分析，不开会讨论；最后把专家们的意见整理归纳，形成预测结论。 专家个人预测的优点是，能充分发挥专家个人的能力，容易集中意见。缺点是预测的结果可能出现片面性。 2. 专家集体预测 专家们根据提出的预测问题和所提供有关信息，先做准备；然后在会议期间提出自己的预测意见，通过讨论，互相启发和补充，最后经过修正，形成预测结论。 优点是，通过讨论，能够集思广益，分析问题比较全面。缺点是少数人的正确意见容易受“权威人士”或多数人意见的影响，降低预测的可靠性。,7.
8、2.2 德尔菲法 德尔菲（Delphi）法是60年代由美国著名的咨询机构兰德公司所创造的。名称“德尔菲”是以古西腊预言神殿所在地的历史名城所命名的。它也是一种专家调查方法。 这种方法是主持预测的机构给参加预测的专家们发调查表，用书面联系，不开会讨论。根据专家们的初步预测意见，经综合整理，不记名再反馈给各个专家，请专家再次提出意见。如此经过多次反复，将渐趋一致的意见作为预测结论。 不记名反馈预测意见不会有约束作用；专家们可根据每次提供的信息，修正自己的意见。 兼有专家个人预测和专家集体预测的优点，这种方法在国外应用甚广，效果显著。 进行预测时，对专家们所提出的预测意见要进行综合归纳和处理，从而得
9、出预测结论。采用的方法有算术平均法和加权平均法。加权平均法的基本原则是，认为各个专家的预测结果的重要性不同，不应同等看待，给予不同的权重，因为专家的知识和经验不同。,7.2.3 经济寿命周期法 从产品开始投入市场试销时起，到被市场淘汰时止称为产品的经济寿命周期。 分为试销期，畅销期（或称成长期），饱和期（或称成熟期），滞销期（或称衰老期），E点为淘汰终点。 周期曲线说明产品的经济生命由畅销到淘汰的规律，用于对产品的研制、生产、销售、停产等进行科学的预测和决策。 产品处于经济寿命周期不同的阶段，应采取不同的生产和销售策略。如产品处于畅销期，就要挖掘潜力扩大生产，同时研制新产品；当产品销售已进入饱
10、和期时，就应控制该产品的产量，开始研制新产品和试销，开辟新市场；当产品销售已进入滞销期时，就要通过调整销售价格清除存货，减少损失并迅速转产，生产新产品。这样可使新技术不断得到开发和应用，产品不断更新换代，达到不断提高经济效益的目的。,定性分析预测法,第七章 预测方法,0,时间,经济指标,A,B,C,D,E,图7-1 产品经济寿命周期,Our primary purpose in this section is to present the equations for three forecasting methods moving average, exponential smoothing,
11、 and regression. This simplest forecasting method is the moving average forecast. The method simply averages of the last m observations. It is useful for time series with a slowly changing mean.,时间序列预测法，它的基本原理是，从过去按时间顺序排列的数据中找出事物随时间发展的变化规律，以及推算出演变的趋势。因此，它也叫趋势外推法。它的数学模式是预测目标与时间的函数关系： y = f (t) 式中 y 预
12、测目标； t 时间。 时间序列预测常用的方法有移动平均法和指数平滑法等。 7.3.1 移动平均法(Simple moving average method) 移动平均法数据处理目的是消除短期偶然因素的干扰，平滑数据，借此显示出某一阶段中预测对象的长期发展趋势。 计算公式： 式中：ft 第t期的预测值； xt 第t期的实际值； n 分段平均中数据的个数。,7.3.2 指数平滑法(Exponential smoothing method ) 7.3.2.1 指数平滑预测模型 克服移动平均法需要存储大量数据和等权的缺陷，应用广泛 若用一个其值随时间依指数递减的权数序列，此权数序列可定义为： +(1)
13、 +(1)2 +(1)3 +(1) n 显然，上式为一个几何级数，当0 1，n时，此级数收敛，极限为1。,第七章 预测方法,可见，此序列不仅接近单位和1，且具有随时间递减的权数。 如果我们利用一个指数加权序列，构造一个指数加权平均数ut： ut =dt+(1) dt1+(1)2 dt2+(1)3 dt3+ (1) 其中 dt 第t期的实际值； ut 第t期对下一期的预测值。 公式（1）也可写作 ut =dt+ (1)dt1+(1) dt2+(1)2 dt3+ （2）,第七章 预测方法,ut =dt+(1) dt1+(1)2 dt2+(1)3 dt3+ (1) ut =dt+ (1)dt1+(1
14、) dt2+(1)2 dt3+ (2) 将（1）式中的ut用ut1代替，把式中每一个下标都减1则得到 ut1=dt1+(1) dt2+(1)2 dt3+(1)3 dt4 显见，ut1就是（2）式方括号中的内容。将其代入，则得到 指数加权平均的基本方程 ut =dt+ (1) ut1 （3） 指数平滑法较传统的移动平均法有明显优越之处： 1. 指数平滑法，权数值随时间递减，而不象移动平均法那样，数据在某一点被突然截断不用； 2. 只需保留少量数据便可计算出指数加权平均值ut。这两个必需的数值是上期的平均值ut1，以及本期的实际值dt。,第七章 预测方法,例 2 用指数平滑法预测，分别取值为0.2
15、和0.4，以第1期的实际值d1作为第1期对第2期的预测值u1，即令u1 = d1= 50。 指数平滑法预测结果表 表7-4,工商业预测中使用的典型值在0.05到0.3之间，具有相似灵敏度的移动平均法要求的时间周期数目应满足于下表。 值对应时间周期数 表7-3 n 0.05 39 0.1 19 0.2 9 0.3 6 7.3.2.2 预测误差（标准差）的简便算法 ut =dt+ (1) ut1 （3） 注意到（dtut1）是本期预测值的误差et，可将（3）式化成更加简单的形式: ut = ut1 +（dtut1）= ut1 +et,第七章 预测方法,误差的绝对离差均值（MAD，the mean
16、absolute deviation of errors）。绝对离差均值是误差的绝对值的平均数。由公式（3）可知，指数加权平均值ut是平均值的真实形式，因而可用类似计算指数加权平均值的方法来求绝对离差均值。 MADt =et+ (1) MADt1 标准差比绝对离差均值稍大一些并与之成正比。不同的统计分布之间比例常数稍有变化，但总是在1.21.3之间取值（对于正态分布为1.2533），因此通常采用折衷值1.25。,第七章 预测方法,标准差是对预测精度的基本度量，这是计算它的主要原因（标准差在库存控制中估计安全存储量时也曾用到）。对于相对比较短期的预测，可以很有把握地估计未来的数据值将落在预测值两
17、侧加减两倍标准差的包络线中。我们不能过分强调预测总得伴随标准差给出，但也应看到它的意义。,第七章 预测方法,Regression The regression forecast is based on the assumption of a model consisting of a constant and a linear trend. Using these n observations, we find the linear equation that minimize the sum of squares of the difference of the observations f
18、rom the fitted line. The values of the indices, xi, are the independent variables for the simple regression. The values of the observations, yi, are the dependent variables. The following parameter estimates are based on the least squares normal equations for fitting a linear equation.,7.4.1.1一元线性回归
19、分析模型 其中： 是因变量，x是自变量，a是常数（又称截距，intercept），b是回归系数（又称斜率）。a，b都是待定参数 。 例1 已知某企业最近7年产品销售额，应用回归分析法预测该企业今、明两年的销售额各为多少。 产品销售额表 （单位：万元） 表7-5,7.4.1 一元线性回归分析,第七章 预测方法,销售额 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 年份序号x 图7-2销售额y随时间x变化趋势,y = 2900 + 450 x 将年份序号8（即今年）、9（明年）分别代入方程，即得 y8 = 2900 + 450 8 = 650
20、0 y9 = 2900 + 450 9 = 6950 问题是，预测结果的可靠性如何度量，它的波动范围如何？,第七章 预测方法,7.4.1.2 回归分析中的偏差 要确定一个回归分析的有效性，必须检验由回归解释的偏差与Y的总偏差相比较所占的比例为多少。 1. 1 总偏差 一个观测值序列的偏差可由各个观测值与观测均值之差的平方和来度量。因而，Y的总偏差由下式给出 总偏差 = （1） 1. 2. 归咎于回归的偏差 归咎于回归的偏差 =,第七章 预测方法,1. 3 残差 残差 = （2） 残差 =总偏差归咎于回归的偏差 7.4.1.3 相关系数r和相关性检验 相关系数反映了变量y与x之间线性相关的密切程
21、度。r越接近于1，就说明y与x之间线性相关程度越密切。 判定指标r2（即相关系数的平方）是归咎于回归的偏差相对于总偏差的百分比，即,第七章 预测方法,r2 =,相关系数表（95%的置信度） 表7-6,第七章 预测方法,置信度和置信区间,在通过实验研究随机现象时，获得的是总体分布的近似值，所以还要估计出一个以区间的形式给出的范围。并且希望知道该范围包含参数真值的可靠程度，这涉及置信度和置信区间的概念。 可根据样本观测值计算样本期望值，根据总体分布的概率密度函数，可求出落入任意两个值t1和t2之间的概率。对于某一特定概率（1-）若有 p(t1 t2) = （1-） 则称t1，t2为的置信区间， t
22、1，t2为置信上、下限。对应于置信区间的特定概率（1-）称为置信度， 称为显著性水平。 例如，正态分布观测值95.45%可能落入（2）范围内。,7.4.1.4 预测值置信度检验 在回归分析中，置信区间的宽度在样本数据平均值处最小，即精确度最高，随着计算值离开平均值点，置信区间增大。 为了估计任何具体预测的置信区间，首先必须知道回归的标准差Sr。回归的标准差定义为实际观测值yi与回归值之差的平方均值的平方根。即 ： （注：上式中除数n2是由于建立回归方程计算 时，从理论上失去两个自由度。）,第七章 预测方法,建立了回归的标准差Sr的计算式后，预测的标准差 可由下 式给出,确定了预测的标准差之后，
23、99%、95%和68%的置信区间分别 定义为：3 ，2 和 。 线性回归分析（趋势分析）不仅产生预测值，而且能检验预测的有效性。 线性回归技术能够在预测值周围确定一个范围，未来真值将以一定置信度出现在这个区域内。 除此而外，回归分析也是更一般的曲线拟合的基础。,第七章 预测方法,7.4.1.5 综合实例 例 2 地方政府道路建设经费支出预测。 道路建设经费支出基础数据计算表 表7-7,xi=66 xi2=506 yi=11295 yi2=12997117 xiyi=79880,解 （1）求回归方程 首先计算回归方程参数： 得回归方程： 将x=12代入回归方程，即得今年经费支出的预测值：,必须注
24、意，所有的回归直线都是穿过均值点的，例中的均值点为（6，1026.81）。,（2）计算偏差 归咎于回归的偏差 = =110.092(506662/11) =1333179 残差 =总偏差归咎于回归的偏差 = 13992061333179 =66027 残差也可由公式（2）求得 （3）相关系数r 由r2 = 得到 r = 0.98 由于回归系数b为正值，相关系数r也为正值。,（4）置信区间 回归的标准差 = 85.64 由于n = 11， = 6，对今年经费支出预测时x0 =12，所以 预测的标准差 =101.91 由此可以推断，对于今年的预测量的95%的置信度，可以由1687.352（101.
25、91）来定义其置信区间，即置信下限为1483.53, 置信上限为1891.17。依此类推，可以预测今后几年的道路建设经费支出。注意到置信区间宽度是随预测年份x0的向前推移而逐渐增大的，以此进行预测一个适当的终止年份不应过长（不超过5至6年）。,7.4.2 多元线性回归分析和非线性回归分析 7.4.2.1 多元线性回归分析 多元线性回归模型的一般形式为： Y = a + b1x1 +b2x2 +b3x3 +bnxn 其中：Y为多元线性回归的估计值； a为待定的常数； bi（i =1,2, ,m）为Y对xi（i =1,2, ,m）的回归系数。 在多元线性回归方程中，因变量y对某一自变量xi的回归系
26、,第七章 预测方法,数bi表示当其它自变量都固定时，该自变量变化一个单位而使Y平均变化的量，故又称为偏回归系数。参数a、bi的确定与一元线性回归方程参数的确定方法相同，仍然采用最小二乘法。 7.4.2.2 非线性回归分析 （1） 抛物线型模型（Y = a + b1x +b2x2 +b3x3 +bnxn） 令：x = x1，x2 =x2，x3 =x3，xn =xn 则上式变为线性方程 Y = a + b1x1 +b2x2 +b3x3 +bnxn （2） 指数型（Y =dcx） 可 对上式两端取对数，得 log Y = log d + x log c,第七章 预测方法,令： Y/ = log Y，b = log c ，a = log d 则Y =dcx可写成： Y/ = a + bx 这样就将指数方程变成为线性方程。 （3） 双曲线型（Y = a + b/x） 可简单地对自变量x取倒数而将上式转换为线性方程。 即取变 换 x = 1/x，则上式变为 Y = a + b x 这样就将双曲线方程变成为线性方程。,第七章 预测方法,7.4.3 应用中应注意的问题 相关系数r的符号与回归系数b的符号是一致的 ，符号表明变量变化的方向，b的值只表明X与Y两变量之间变动的比率，并不表示变量之间相关的密切程度。,第七章 预测方法,