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1、(一)函数与导数中的高考热点问题 命题解读1.函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点2常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等3涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有利用导数研究函数的性质函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的
2、单调性、极值、最值，求参数的范围【例1】(2018天津高考节选)设函数f(x)(xt1)(xt2)(xt3)，其中t1，t2，t3R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列(1)若t20，d1，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若d3，求f(x)的极值解(1)由已知，可得f(x)x(x1)(x1)x3x，故f(x)3x21.因此f(0)0，f(0)1，又因为曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)f(0)(x0)，故所求切线方程为xy0.(2)由已知可得f(x)(xt23)(xt2)(xt23)(xt2)39(xt2)x33t2x2(3t9)xt9t2.故f
3、(x)3x26t2x3t9.令f(x)0，解得xt2，或xt2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，t2)t2(t2，t2)t2(t2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(t2)()39()6；函数f(x)的极小值为f(t2)()396.规律方法1.研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此利用导数研究函数的性质，应遵循定义域优先的原则2讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f(x)的符号问题上，而f(x)0或f(x)0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题3若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x
4、)0在单调区间上恒成立问题求解 (2019合肥模拟)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，e的最小值h(a)解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2xa，因为x3是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9.所以f(x)，所以当0x或x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.所以f(x)的递增区间为和(3，)，递减区间为.(2)由题知，g(x)f(x)2xaln xx2ax2x.g(x)2.当1，即a2时，g(x)在1，e上为增函数，h(a)g(1)a1；当1e，即2a2e时，g(x)在上为减
5、函数，在上为增函数，h(a)galna2a；当e，即a2e时，g(x)在1，e上为减函数，h(a)g(e)(1e)ae22e.综上，h(a) 利用导数研究函数的零点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图像交点的个数；(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围【例2】(本小题满分12分)(2018全国卷)已知函数f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点信息提取看到(1)求单调区间，想到导数与单调性的关
6、系；看到(2)f(x)只有一个零点，想到f(x)的单调性及函数有零点的条件规范解答(1)当a3时，f(x)x33x23x3，f(x)x26x3.令f(x)0解得x32或x32.2分当x(，32)(32，)时，f(x)0；当x(32，32)时，f(x)0，所以f(x)0等价于3a0.7分设g(x)3a，则g(x)0，仅当x0时g(x)0，所以g(x)在(，)递增故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.9分又f(3a1)6a22a6a20，故f(x)有一个零点.11分综上，f(x)只有一个零点.12分易错与防范易错误区：(1)把单调增区间用“”连接(2)作第(2)问时，直接求f(x)
7、，导致无法求解(3)无法找到区间(m，n)，使得f(m)f(n)0.防范措施：(1)单调区间不能用“”连接(2)求函数零点时，常利用f(x)0，转化函数的表现形式(3)在寻找m，n使得f(m)f(n)0时，可通过多次尝试获得通性通法利用导数研究函数零点的两种常用方法(1)用导数研究函数的单调性，借助零点存在性定理判断；或用导数研究函数的单调性和极值，再用单调性和极值定位函数图像求解零点问题(2)将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决 (2019武汉模拟)已知f(x)ln xx32ex2ax，aR，其中e为自然对数的底数(1)若f(x)在xe处的切线的斜率为e2，求a；(2)若f
8、(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)3x24exa，f(e)e2ae2，a.(2)由ln xx32ex2ax0，得x22exa.记F(x)x22ex，则F(x)2(xe)当x(e，)时，F(x)0，F(x)单调递减当x(0，e)时，F(x)0，F(x)单调递增，F(x)maxF(e)e2，而x0时，F(x)，x时，F(x).故ae2. 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题，突出转化思想、函数思想的考查常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题【例3】设函
9、数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)0，f(x)在(1，)上递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.若a1，故当x时，f(x)0，f(x)在上递减，在上递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f ，所以不合题意若a1，则f(1)1.综上，a的取值范围是(1，1)(1，)规律方法1.利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(
10、x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如证f(x)g(x)在D上成立，只需证明f(x)ming(x)max即可2利用导数求不等式中参数的范围用导数解决满足不等式条件的参数范围问题，一般都需要构造函数，然后对构造的函数求导，一般导函数中都含有参数，通过对参数讨论确定导函数的正负，由导函数的正负确定构造函数的单调性，再由单调性确定是否满足函数不等式，由此求出参数范围 (2019
11、郑州模拟)已知函数f(x)ln x(1a)x2x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a1时，证明：对任意的x(0，)，有f(x)(1a)x2a1.解(1)由题知f(x)(x0)，当a1时，由f(x)0得2(1a)x2x10且98a，x1，x2，当a1时，f(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减；当a1时，f(x)在(0，x2)上递增，在(x2，)上递减；当a时，f(x)在(0，)上递增；当a1时，f(x)在(0，x2)和(x1，)上递增，在(x2，x1)上递减(2)当a1时，要证f(x)(1a)x2a1在(0，)上恒成立，只需证ln xxa1在(0，)上恒成立，令F(x)ln xx，
12、g(x)a1，由F(x)1，易得F(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，故F(x)F(1)1，由g(x)a1得g(x)(x0)当0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0.所以g(x)在(0，e)上递减，在(e，)上递增所以g(x)g(e)1a.又a1，所以1a1，即F(x)maxg(x)min，所以ln xxa1在(0，)上恒成立，故当a1时，对任意的x(0，)，f(x)(1a)x2a1恒成立大题增分专训1(2019武汉模拟)(1)求函数f(x)的最大值；(2)若函数g(x)exax有两个零点，求实数a的取值范围解(1)对f(x)求导得，f(x).易知当0xe时，f(x)为增函数，当x
13、e时，f(x)为减函数，f(x)f(e)，从而f(x)的最大值为.(2)当a0时，g(x)ex在R上为增函数，且g(x)0，故g(x)无零点当a0时，g(x)exax在R上递增，又g(0)10，ge10，故g(x)在R上只有一个零点当a0时，由g(x)exa0可知g(x)在xln a处取得唯一极小值，g(ln a)a(1ln a)若0ae，则g(x)极小值a(1ln a)0，g(x)无零点，若ae，则g(x)极小值0，g(x)只有一个零点，若ae，则g(x)极小值a(1ln a)0，而g(0)10，由(1)可知，f(x)在xe时为减函数，当ae时，eaaea2，从而g(a)eaa20，g(x)
14、在(0，ln a)与(ln a，)上各有一个零点综上知，ae时，f(x)有两个零点故实数a的取值范围为(e，)2(2019济南模拟)设函数f(x)xa，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0时，记f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)1.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1aa，若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上递增若a0，当x(0，a)时，f(x)0，f(x)递减；当x(a，)时，f(x)0，f(x)单调递增综上，当a0时，f(x)在(0，)上递增；当a0时，f(x)在(0，a)上递减，在(a，)上递增(2)由(1)知，f(x)minf(a)aaaaln a.即
15、g(a)aaln a.要证g(a)1，即证aaln a1，即证1ln a，令h(a)ln a1，则只需证h(a)ln a10，h(a)，当a(0,2)时，h(a)0，h(a)递减；当a(2，)时，h(a)0，h(a)递增h(a)minh(2)ln 21ln 20，h(a)0，即g(a)1.3(2019石家庄模拟)已知函数f(x)(xb)(exa)(b0)的图像在(1，f(1)处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求a，b；(2)若m0，证明：f(x)mx2x.解(1)由题意知f(1)0，f(1)1，所以f(1)(1b)0，又f(x)(xb1)exa，所以f(1)a1，若a，则b2e0，与b0矛盾，故a1，b1.(2)由(1)可知f(x)(x1)(ex1)，f(0)0，f(1)0，由m0，可得xmx2x，令g(x)(x1)(ex1)x，则g(x)(x2)ex2，令t(x)g(x)，则t(x)(x3)ex，当x3时，t(x)0，g(x)递减，且g(x)0；当x3时，t(x)0，g(x)递增，且g(0)0.所以g(x)在(，0)上递减，在(0，)上递增，且g(0)0.故g(x)g(0)0，所以(x1)(ex1)xmx2x.故f(x)mx2x.