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1、第51讲 双曲线课时达标一、选择题1如果方程1表示双曲线，则实数k的取值范围是()A(，1) B(1，)C(1，) D(，1)(1，)B解析 双曲线的方程是1.根据定义和条件知k10k1.故选B.2已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为()A. B2C.或2 D.或C解析 根据条件可知m29，所以m3.当m3时，e；当m3 时，e2.故选C.3(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx DyxA解析 因为，所以3，所以，所以渐近线方程为yx.故选A.4(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点，O是
2、坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B2C. D.C解析 设双曲线C的一条渐近线的方程为bxay0，则直线PF2的方程为axbyac0.由可得P.由F1(c,0)及|PF1|OP|，得，化简得3a2c2，则e.故选C.5(2018天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1A解析 如图，不妨设点A在点B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，所以b
3、3.又由e2知a2b24a2，所以a.所以双曲线的方程为1.故选A.6(2019长阳一中期中)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为()A. B.C. D.C解析 双曲线C1：2x2y21，即y21，所以左顶点A，渐近线方程yx，过点A与渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所以该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S|OA|y|.二、填空题7(2017北京卷)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析 由已知可得a1，c，所以e，解得m2.答案 28已知双曲线C：1(
4、a0，b0)的一条渐近线与直线l：xy0垂直，双曲线C的一个焦点到直线l的距离为1，则双曲线C的方程为_解析 因为双曲线的一条渐近线与直线l：xy0垂直，所以双曲线的渐近线的斜率为，即.由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得1，所以c2，即a2b24.联立，解得a21，b23 ，所以双曲线的标准方程为x21.答案 x219在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线1的左支上，则_.解析 由条件知|BC|BA|10，且|AC|12.又在ABC中，有2R(R为ABC外接圆的半径)，从而.答案 三、解
5、答题10(2019洛阳一中期中)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解析 (1)因为双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c3，b，所以双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3,0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB|.11已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心
6、率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解析 (1)因为e，所以双曲线的实轴、虚轴相等则可设双曲线方程为x2y2.因为双曲线过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则(23，m)，(23，m)所以(32)(32)m23m2，因为M点在双曲线上，所以9m26，即m230，所以0.(3)F1MF2的底|F1F2|4.由(2)知m.所以F1MF2的高h|m|，所以SF1MF246.12已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，
7、求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解析 (1)因为双曲线的渐近线方程为yx，所以ab，所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足()1，所以x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，所以x0c，所以点A的坐标为，代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，所以348240，所以(3e22)(e22)0，因为e1，所以e，所以双曲线的离心率为.13选做题(2019长沙二中月考)在等腰梯形ABCD中，ABCD，且|AB|2，|AD|1，|CD|2x，其中x(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x(0,1)，不等式te1e2恒成立，则t的最大值为()A. B. C2 D.B解析 由平面几何知识可得|BD|AC|，所以e1，e2，所以e1e21.因为e1e2e1在x(0,1)上单调递减，所以e1e2.因为对任意x(0,1)，不等式te1e2恒成立，所以t，即t的最大值为.