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1、高考必考题突破讲座(三)1已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1an，求数列bn的前2n项和T2n.解析 (1)设等差数列an的公差为d，由S3S4S5得a1a2a3a5，即3a2a5，所以3(1d)14d，解得d2.所以an1(n1)22n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(2n1)，所以T2n1357(4n3)(4n1)(2)n2n.2(2019东北三省四校模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3S550，a1，a4，a13成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求
2、数列bn的前n项和Tn.解析 (1)依题意得解得所以an2n1.(2)因为3n1，所以bnan3n1(2n1)3n1，所以Tn353732(2n1)3n1,3Tn33532(2n1)3n1(2n1)3n，2Tn32323223n1(2n1)3n32(2n1)3n2n3n，所以Tnn3n.3(2019南昌模拟)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sn(an)2，其中0，且是a1，a2的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)求证：当n2时，.解析 (1)当n1时，4S1(a1)2，所以(a1)20，得a1；当n2时，4Sn1(an1)2，得4an(an)2(an1)2，即(ana
3、n1)(anan12)0.因为数列an的各项均为正数，所以anan12，则a23，a1a232，又是a1，a2的等比中项，所以a1a23，由0得1，所以anan12，a11，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，故an2n1.(2)证明：由(1)得4Sn(2n11)2，即Snn2，当n2时，则11.4已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，试求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由于f(
4、x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S131221615，也适合上式，所以an6n5(nN*)(2)由(1)得bn，故Tn.5已知数列an满足a13，1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2，数列bn的前n项和为Sn，求使Sn4的最小自然数n.解析 (1)由1，nN*知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2n1n1，所以ann22n，故数列an的通项公式为ann22n.(2)bnlog2log2log
5、2(n1)log2(n2)，则Snb1b2bnlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2)1log2(n2)，由Sn4得1log2(n2)30，故满足Sn4的最小自然数n为31.6已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.解析 (1)设数列xn的公比为q，由已知得q0.由题意得所以3q25q20.因为q0，所以q2，x11，因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2，又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.