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1、5.2 平面向量基本定理及坐标表示（教案）,2014高考会这样考 1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用,复习备考要这样做 1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算,1 平面向量基本定理,如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.,其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,2 平面向量的坐标运算,(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则,ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1
2、y2)，,a(x1，y1)，|a|.,(2)向量坐标的求法,若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.,3 平面向量共线的坐标表示,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.,难点正本 疑点清源,1 基底的不唯一性,只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的,2 向量坐标与点的坐标的区别,在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与
3、a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量不变即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化,1 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.,答案 解析 因为，又，,，所以，,得到1，1，两式相加得.,2 在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_,答案 (3，5) 解析 ，(1，1)，,(3，5),3 已知向量a(1,2)，b(3,2)，若kab与b平行，则k_.,答案 0,解析 由kab与b平行得3(2k2)2(k3)，k0.,4 若向量a(1,1
4、)，b(1,1)，c(4,2)，则c等于 ( ),A3ab B3ab Ca3b Da3b,答案 B 解析 由已知可设cxayb，,则，.,5 (2011广东)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则等于( ),A. B. C1 D2,答案 B 解析 ab(1,2)(1,0)(1，2)，而c(3,4)，由(ab)c得4(1)60，解得.,题型一 平面向量基本定理的应用,例1 已知点G为ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且x，y，求的值,思维启迪：以，为基底来表示向量，建立x，y的关系,解 根据题意知G为三角形的重心，,故()，()x，,y
5、y()，,由于与共线，根据共线向量定理知,，,，不共线，,xy3xy0，两边同除以xy得3.,探究提高 利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算；向量的表示是向量应用的前提,如图，在ABC中，P是BN上的一点，若,答案 解析 设|y，|x，,则，,， yx得，,令，得yx，代入得m.,题型二 向量坐标的基本运算,例2 已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c； (2)求满足ambnc的实数m，n；,(3)求M、N的坐标及向量的坐标,解 由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8),(1)3ab3c3(5，5)(6，
6、3)3(1,8),(1563，15324)(6，42),(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得,(3)设O为坐标原点，3c，,3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，,2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18),探究提高 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则,已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(3,4)，则第四个顶点D的坐标是_,答案 (4，1)或(12,5)或(2,9),解析 设顶点D(x，y),若平行四边形为ABC
7、D，则由(1,5)，,(3x,4y)，得所以,若平行四边形为ACBD，则由(7,2)，,(5x,7y)，得所以,若平行四边形为ABDC，则由(1,5)，,(x3，y4)，得所以,综上所述，第四个顶点D的坐标为(4，1)或(12,5)或(2,9),题型三 共线向量的坐标表示,例3 平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：,(1)求满足ambnc的实数m，n；,(2)若(akc)(2ba)，求实数k；,(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.,思维启迪：(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之,(2)由两向量平行的条件列方程解之,(3)设出d(x，y)，
8、由平行关系列方程，由模为列方程，联立方程组求解,解 (1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，,所以，得.,(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，,(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.,(3)设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，,由题意得，解得或，,d(3，1)或d(5,3),探究提高 (1)运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合,(2)根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用,(2011北京)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若(a2b)与c共线，则k_.,
9、答案 1,解析 a2b(，1)2(0，1)(，3)，,又(a2b)与c共线，(a2b)c，,3k0，解得k1.,忽视平面向量基本定理的使用条件致误,典例：(12分)已知a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？,易错分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解,规范解答,解 由题设，知dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3
10、ka2kb，,整理得(t33k)a(2kt)b.4分,若a，b共线，则t可为任意实数；7分,若a，b不共线，则有,解之得t.10分,综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；,a，b不共线时，t.12分,温馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件.,方法与技巧,1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解,2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题,3在向量的运算中要注意待定
11、系数法、方程思想和数形结合思想的运用,失误与防范,1要区分点的坐标和向量坐标的不同，向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标；向量坐标中既有大小的信息，又有方向的信息,2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.,A组 专项基础训练,(时间：35分钟，满分：57分),一、选择题(每小题5分，共20分),1 与向量a(12,5)平行的单位向量为 ( ),A. B.,C.或 D.,答案 C,解析 设e为所求的单位向量，则e.,2. 如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则 ( ),解析 由
12、题意知，又2，所以()，所以x，y.,3 已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于 ( ),Aab B.ab,Cab Dab,答案 B,解析 设cab，(1,2)(1,1)(1，1)，,，cab.,4 在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于 ( ),A(2,7) B(6,21) C(2，7) D(6，21),答案 B,解析 33(2)63(6,30)(12,9)(6,21),二、填空题(每小题5分，共15分),5 若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab0)共线，则的值为_,答案 解析 (a2，2)，(2，b2)，,依题意
13、，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.,6 已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_,答案,解析 因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，,所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，,又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，,即10x5，解得x.,7 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，则_.,答案 解析 OC，,()，.,三、解答题(共22分),8 (10分)已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得kab与a3b共线，且方向相反？,解 若存在实数k，,则ka
14、bk(1,2)(3,2)(k3,2k2),a3b(1,2)3(3,2)(10，4),若向量kab与向量a3b共线，则必有(k3)(4)(2k2)100，解得k.,这时kab，所以kab(a3b),即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在,延长CM交AB于N，令a，试用a表示.,解 因为，,所以由230，得,()2()30，,所以3230.,又因为A，N，B三点共线，C，M，N三点共线，,由平面向量基本定理，设，,所以3230.,所以(2)(33)0.,由于和不共线，由平面向量基本定理，,得所以,所以，22a.,B组 专项能力提升,(时间：25分钟，满分：43分),一、选择题(每小题5分，共1
15、5分),1 若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b等于 ( ),A(3,6) B(3，6),C(6，3) D(6,3),答案 A,解析 方法一 设b(x，y)，由已知条件,整理得 解得,b(3,6),方法二 设b(x，y)，由已知条件,解得或(舍去)，b(3,6),方法三 |a|，a，,则b3(3,6),2 已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于 ( ),A(2，4) B(3，6),C(4，8) D(5，10),答案 C,解析 由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)m4，从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8
16、),3 已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则的值为 ( ),A1 B. C. D.,答案 D解析 过C作CEx轴于点E(图略)由AOC，知|OE|CE|2，,所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.,二、填空题(每小题5分，共15分),4 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角C_.,答案 60,解析 因为pq，则(ac)(ca)b(ba)0，,所以a2b2c2ab，结合余弦定理知，cos C，,又0C180，C60.,5 已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段A
17、B交于C，且2，则实数a_.,答案 2,解析 设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，,2，解得.,C(3,3)又C在直线yax上，,3a3，a2.,6 设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_,答案 8,解析 据已知得，又(a1,1)，(b1,2)，,2(a1)(b1)0，2ab1，,4428，当且仅当，即a，b时取等号，,的最小值是8.,三、解答题,7 (13分)已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.,(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；,(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；,(3)若t1a2，求当且ABM的面积为12时a的值,(1)解 t1t2t1(0,2)t2(4,4),(4t2,2t14t2),当点M在第二或第三象限时，有,故所求的充要条件为t20且t12t20.,(2)证明 当t11时，由(1)知(4t2,4t22),(4,4)，,(4t2,4t2)t2(4,4)t2，,A、B、M三点共线,(3)解 当t1a2时，(4t2,4t22a2),又(4,4)，4t24(4t22a2)40，,t2a2，故(a2，a2),又|4，点M到直线AB：xy20的距离,d|a21|.SABM12，,|AB|d4|a21|12，,解得a2，故所求a的值为2.,