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1、第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念(第一课时) 学习目标 会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号 “y=f(x)”的含义;通过学习函数的概念, 培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学生学习数学的兴趣及抽象概括的能 力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题 的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识; 掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念 中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:给出下列三种对
2、应:(幻灯片) 一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m,且炮弹距地面的 高度 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2. 这里,炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 A=t|0t26,炮弹距地面的高度 h 的变化范围 是数集 B=h|0h845.则有对应:f:th=130t-5t2,tA,hB. 近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.图中的曲线显示 了南极上空臭氧层空洞的面积 S(单位:106km2)随时间 t(单位:年)从 19792001 年的变化情况. 南极臭氧层空洞的面积 根据图中的曲线可知,时间
3、t 的变化范围是数集 A=t|1979t2001,臭氧层空洞面积 S 的 变化范围是数集 B=S|0S26,则有对应:f:tS,tA,SB. 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质 量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的 生活质量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况 时间 (年) 19911992199319941995199619971998199920002001 城镇居民 家庭恩格 尔系数(%) 53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.
4、237.9 请仿照描述此表中恩格尔系数与时间(年)的关系. 请同学们思考以上三个对应有什么共同特点? 二、自主探索,尝试解决 以上三个对应的共同特点: 三、信息交流,揭示规律 问题 2:函数的定义域是自变量的取值范围,那么如何理解这个“取值范围”呢? 问题 3:函数有意义又指什么? 在研究函数时,除了用集合表示数的范围外,常会用到区间的概念.设 a,b 是两个实数,且 aa(a,+) x|xa(-,a x|x0 时,求 f(a),f(a-1)的值. 【例 2】求函数 y=-的定义域. (x + 1)2 x + 1 1 - x 【例 3】已知函数 f(x)=,那么 f(1)+f(2)+f( )+
5、f(3)+f( )+f(4)+f( )=. x2 1 + x2 1 2 1 3 1 4 五、变式演练,深化提高 1.设函数 f(n)=k(kN*),k 是 的小数点后的第 n 位数字,=3.141 592 653 5,则 fff(10) 100 = . 2.已知 A=a,b,c,B=-1,0,1,函数 f:AB 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数 f(x)有( ) A.4 个B.6 个 C.7 个D.8 个 3.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那 么解析式为 y=x2,值域是1,4的“同族函数”共有( ) A.9 个B.8 个
6、C.5 个D.4 个 4.若 f(x)=的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则 MN 等于( ) 1 x A.MB.N C.UMD.UN 六、反思小结,观点提炼 请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容? 七、作业精选,巩固提高 课本 P24习题 1.2 A 组第 1,5 题. 参考答案 二、自主探索,尝试解决 集合 A,B 都是数集,并且对于数集 A 中的每一个元素 x,在对应关系 f:AB 下,在数集 B 中 都有唯一确定的元素 y 与之对应. 三、信息交流,揭示规律 问题 2:自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围. 问题 3:函数有意义是指:自变
7、量的取值使分母不为 0;被开方数为非负数;如果函数有实际 意义时,那么还要满足实际取值等. 四、运用规律,解决问题 【例 1】解:(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足解得-3x-2,x + 3 0, x + 2 0. 即函数的定义域是-3,-2)(-2,+). (2)f(-3)=+=-1; - 3 + 3 1 - 3 + 2 f( )=+= +. 2 3 2 3 + 3 1 2 3+ 2 3 8 33 3 (3)a0,a-3,-2)(-2,+), 即 f(a),f(a-1)有意义. 则 f(a)=+; a + 3 1 a + 2 f(a-1)=+=+. a - 1 + 3 1 a -
8、 1 + 2 a + 2 1 a + 1 【例 2】答案:x|x1,且 x-1. 点评:本题容易错解:化简函数的解析式为 y=x+1-,得函数的定义域为x|x1.其原因 1 - x 是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的 定义域发生变化,因此求函数的定义域之前,不要化简解析式. 【例 3】 解析:法一:原式=+= + + + 12 1 + 12 22 1 + 22 ( 1 2) 2 1 + ( 1 2) 2 32 1 + 32 ( 1 3) 2 1 + ( 1 3) 2 42 1 + 42 ( 1 4) 2 1 + ( 1 4) 2 1 2 4 5 1
9、 5 9 10 1 10 16 17 = . 1 17 7 2 法二:由题意得 f(x)+f( )=+=+=1.则原式= +1+1+1= . 1 x x2 1 + x2 ( 1 x) 2 1 + ( 1 x) 2 x2 1 + x2 1 1 + x2 1 2 7 2 答案: 7 2 点评:本题主要考查对函数符号 f(x)的理解.对于符号 f(x),当 x 是一个具体的数值时,相应 地 f(x)也是一个具体的函数值.解法二没有分别求代数式中的每个函数值,而是看到代数式中 含有 f(x)+f( ),故先探讨 f(x)+f( )的值,从而使问题得以简单化.求含有多个函数符号的代数式 1 x 1 x
10、值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特点,找到规律再求解. 受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费 时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累. 五、变式演练,深化提高 1.分析:由题意得 f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,则有=1. fff(10) 100 答案:1 2.解析:当 f(a)=-1 时,则 f(b)=0,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有 2 个; 当 f(a)=0 时,则 f(b)=-1,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=-
11、1 或 f(b)=0,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 3 个; 当 f(a)=1 时,则 f(b)=0,f(c)=-1 或 f(b)=-1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 2 个. 综上所得,满足条件的函数共有 2+3+2=7(个). 故选 C 项. 答案:C 点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 3.分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个 “同族函数”的定义域中至少 含有 1 个绝对值为 1 的实数和绝对值为 2 的实数. 令x2=1,得x=1;令x2=4,得x=2.所有 “同族函数”的定义域分别是1,2,1,-2,-1,2,-1,-2,1, - 1,2,1,-1,-2,1,-2,2,-1,-2,2,1,-1,-2,2,则“同族函数”共有 9 个. 答案:A 4.分析:由题意得 M=x|x0,N=R,则 MN=x|x0=M. 答案:A