《2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案：2.1.1.2 指数与指数幂的运算 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案：2.1.1.2 指数与指数幂的运算 .pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二章 基本初等函数第二章 基本初等函数() 2.1 指数函数 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算(第二课时第二课时) 学习目标 理解分数指数幂的概念; 掌握分数指数幂和根式之间的互化; 掌握分数指数幂的运算性质; 培养学生观察分析和抽象的能力,以及渗透“转化”的数学思想. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰 减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死 亡年数 t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢? 问题 2:考古学家根
2、据上式可以知道,当生物体死亡了 6000 年,10000 年,100000 年后,它体 内碳 14 的含量 P 分别为(,(,(.那么这些数(,(,(的意义究竟是 1 2) 6000 5730 1 2) 10000 5730 1 2) 100000 5730 1 2) 6000 5730 1 2) 10000 5730 1 2) 100000 5730 什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区别? 二、自主探索,尝试解决 问题 3:观察以下式子,你能总结出什么规律?(a0) =a2=; 5 10= 3 ( 2)5 10 5 =a4=;8= ( 4)2 8 2 =a3=; 4 12= 4 ( 3)
3、4 12 4 =a5=.10= ( 5)2 10 2 问题 4:利用问题 3 中的规律,你能表示下列式子吗? (x0,m,nN*,且 n1). 4 53, 3 75, 5 7, 问题 5:你能用方根的意义来解释问题 4 中的式子吗? 问题 6:你能把问题 3,4 中得到的结论推广到一般的情形吗? 规定:正数的正分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且 n1). = 三、信息交流,揭示规律 问题 7:负整数指数幂的意义是怎样规定的? 问题 8:你能得出负分数指数幂的意义吗? 规定:正数的负分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且 n1). - = 1 = 1 问题 9:你认为应怎样规定零的分数指
4、数幂的意义呢? 问题 10:综合上述问题 7,8,9,如何规定分数指数幂的意义? 分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且 n1),正数的负分数指数幂的意 = 义是(a0,m,nN*,且 n1),零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有 - = 1 = 1 意义. 问题 11:分数指数幂的意义中,为什么规定 a0,去掉这个规定会产生什么样的后果? 问题 12:既然指数的概念已从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性 质是否也适用于有理数指数幂呢? 有理数指数幂的运算性质: 对任意的有理数 r,s, (1)aras= (a0,r,sR); (2)(
5、ar)s= (a0,r,sR); (3)(ab)r= (a0,b0,rR). 问题 13:若 a0, 是一个无理数,则 a该如何理解? 实数指数幂有意义,且有相同的运算性质,即: aras=ar+s(a0,r,sR); (ar)s=ars(a0,r,sR); (ab)r=arbr(a0,b0,rR). 四、运用规律,解决问题 【例 1】(课本 P51,例 2)求值: ;2;( )-5;(.8 2 3 5 - 1 2 1 2 16 81) - 3 4 【例 2】用分数指数幂的形式表示下列各式. a3;a2(a0). 3 2; 3 【例 3】计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(2)(-6)
6、(-3); 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6 (2)()8. 1 4- 3 8 【例 4】计算下列各式: (1)(); 3 25125 4 25 (2)(a0). 2 32 五、变式演练,深化提高 1.计算: (1)(2 )0+2-2(2-(0.01)0.5; 3 5 1 4) - 1 2 (2)(0.0001+(27 -(+( )-1.5;) - 1 4 ) 2 3 49 64) - 1 2 1 9 (3); 4 81 9 2 3 (4)2. 3 3 1.5 6 12 2.化简下列各式: (1); 3 7 2 - 3 3 - 8 3 15 3 - 3 - 1 (2)(1-2);
7、 4 3 - 8 1 3 4 2 3+ 23 + 2 3 3 3 (3)(b2)-1(ab-3)7; - 3 2 ) 1 2( 1 2 1 3 (4); 1 + - 1 2 1 + + - 1 2 - 1 (5)()-3. 32 - 4 - 1 六、反思小结,观点提炼 (先让学生独自回忆,然后师生共同总结.) 1. . 2. . 3. . 七、作业精选,巩固提高 课本 P59习题 2.1A 组第 2,3,4 题. 参考答案 一、设计问题,创设情境 问题 1:P=( )5730. 1 2 问题 2:初中所学的指数是整数,而这里的指数是分数形式. 二、自主探索,尝试解决 问题 3:,的结果中 a
8、的指数 2,4,3,5 分 5 10= 10 5 8= 8 2 4 12= 12 4 10= 10 2 别写成了,形式上变了,本质没变.根据 4 个式子的最后结果可以总结:当根式的被开方 10 5 , 8 2, 12 4 , 10 2 数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式). 问题 4:. 4 53= 5 3 4,3 75= 7 5 3,5 7= 7 5, = 问题 5:53的 4 次方根是,75的立方根是,a7的 5 次方根是,xm的 n 次方根是.结果表5 3 4 7 5 3 7 5 明方根的结果和分数指数幂是相通的. 三、信息交流,揭示规律 问题 7:
9、负整数指数幂的意义是 a-n= (a0),nN*. 1 问题 9:零的分数指数幂的意义是零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义, 例如 0-2=. 1 02 = 1 0 问题 11:若没有 a0 这个条件会怎样呢?如(-1=-1,(-1=1 具有同样意) 1 3=3 - 1 ) 2 6=6 ( - 1)2 义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此 在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零. 问题 12:ar+s ars arbr 四、运用规律,解决问题 【例 1】解:=(23=22=4;8 2 3 ) 2 3= 23 2 3 2=(52=5
10、-1= ;5 - 1 2 ) - 1 2= 52 ( - 1 2) 1 5 ( )-5=(2-1)-5=25=32; 1 2 (=(=( )-3=. 16 81) - 3 4 2 3) 4 ( - 3 4) 2 3 27 8 【例 2】解:a3=a3; 1 2= 3 + 1 2= 7 2 a2=a2; 3 2 2 3= 2 + 2 3= 8 3 =(a=(. 3 1 3) 1 2 4 3) 1 2= 2 3 【例 3】解:(1)(2)(-6)(-3)=2(-6)(-3)=4ab0=4a; 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6 2 3+ 1 2- 1 6 1 2+ 1 3- 5 6 (
11、2)()8=()8()8=m2n-3=. 1 4- 3 8 1 4 - 3 8 2 3 【例 4】解:(1)()=()-5=-5; 3 25125 4 25 5 2 3 5 3 2 5 1 2= 5 2 3- 1 2 5 3 2- 1 2= 5 1 6 6 5 (2). 2 32 = 2 1 2 2 3 = 2 - 1 2- 2 3= 5 6=6 5 五、变式演练,深化提高 1.(1) (2) (3)3 (4)6 16 15 314 7 6 3 2.(1) (2)a (3) (4) (5) 1 6 2 3 2 (1 - ) 1 六、反思小结,观点提炼 1.分数指数是根式的另一种写法 2.无理数指数幂表示一个确定的实数 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的