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1、考点测试 55 曲线与方程 高考概览 高考在本考点的考查涉及各种题型，分值为5分，中等难度 考纲研读 1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法 3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 一、基础小题 1方程(2x3y1)(1)0 表示的曲线是( )x3 A两条直线 B两条射线 C两条线段 D一条直线和一条射线 答案 D 解析 原方程可化为Error!或10，即 2x3y10(x3)或 x4，故x3 原方程表示的曲线是一条直线和一条射线 2过点 F(0，3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) Ay212x By21
2、2x Cx212y Dx212y 答案 D 解析 由抛物线的定义知，过点 F(0，3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的 轨迹是以点 F(0，3)为焦点，直线 y3 为准线的抛物线，故其方程为 x2 12y故选 D 3 点 A， B 分别为圆 M： x2(y3)21 与圆 N： (x3)2(y8)24 上的动点， 点 C 在直线 xy0 上运动，则|AC|BC|的最小值为( ) A7 B8 C9 D10 答案 A 解析 设 M(0， 3)关于直线 xy0 的对称点为 P(3， 0)， 且 N(3， 8)， |AC| |BC|PN|1237故选 A6282 4已知点 F，直线 l：x ，点 B
3、是 l 上的动点若过 B 垂直于 y 轴 ( 1 4，0) 1 4 的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 答案 D 解析 由已知得|MF|MB|由抛物线定义知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为 准线的抛物线故选 D 5与圆 x2y21 及 x2y28x120 都外切的动圆的圆心在( ) A一个椭圆上 B双曲线的一支上 C一条抛物线上 D一个圆上 答案 B 解析 圆 x2y28x120 的圆心为(4，0)，半径为 2，动圆的圆心到(4，0) 的距离减去到(0， 0)的距离等于 1， 由此可知动圆的圆心在双曲线的一支上 故选 B
4、 6已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并 且与圆 N 内切，则圆心 P 的轨迹方程为_ 答案 1(x2) x2 4 y2 3 解析 设圆 M，圆 N 与动圆 P 的半径分别为 r1，r2，R，因为圆 P 与圆 M 外 切且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24，由椭圆的定义可 知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为的椭圆(左顶3 点除外)，其方程为 1(x2) x2 4 y2 3 7设 F1，F2为椭圆 1 的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点 F1 x2 4 y2 3 向F1AF2的外
5、角平分线作垂线，垂足为 D，则点 D 的轨迹方程是_ 答案 x2y24 解析 由题意， 延长F1D， F2A并交于点B， 易证RtABDRtAF1D， 则|F1D| |BD|，|F1A|AB|，又 O 为 F1F2的中点，连接 OD，则 ODF2B，从而可知|DO| |F2B| (|AF1|AF2|)2，设点 D 的坐标为(x，y)，则 x2y24 1 2 1 2 8点 P(3，0)是圆 C： x2y26x550 内一定点，动圆 M 与已知圆 C 相 内切且过 P 点，则圆心 M 的轨迹方程为_ 答案 1 x2 16 y2 7 解析 已知圆为(x3)2y264， 其圆心 C(3， 0)， 半径
6、为 8， 由于动圆 M 过 P 点，所以|MP|等于动圆的半径 r，即|MP|r又圆 M 与已知圆 C 相内切，所以圆 心距等于半径之差，即|MC|8r，从而有|MC|8|MP|，即|MC|MP|8 根据椭圆的定义，动点 M 到两定点 C，P 的距离之和为定值 86|CP|，所以 动点 M 的轨迹是椭圆， 并且 2a8，a4；2c6，c3；b21697， 因此 M 点的轨迹方程为 1 x2 16 y2 7 二、高考小题 9(2015广东高考)已知双曲线 C：1 的离心率 e ，且其右焦点为 x2 a2 y2 b2 5 4 F2(5，0)，则双曲线 C 的方程为( ) A 1 B 1 x2 4
7、y2 3 x2 9 y2 16 C 1 D 1 x2 16 y2 9 x2 3 y2 4 答案 C 解析 由已知得Error!解得Error! 故 b3，从而所求的双曲线方程为 1故选 C x2 16 y2 9 10(2015安徽高考)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2x 的 是( ) Ax2 1 B y21 y2 4 x2 4 C x21 Dy2 1 y2 4 x2 4 答案 C 解析 由于焦点在 y 轴上，故排除 A，B由于渐近线方程为 y2x，故排除 D故选 C 11 (2015天津高考)已知双曲线1(a0， b0)的一条渐近线过点(2，)， x2 a2 y2 b2 3
8、且双曲线的一个焦点在抛物线 y24x 的准线上，则双曲线的方程为( )7 A1 B1 x2 21 y2 28 x2 28 y2 21 C 1 D 1 x2 3 y2 4 x2 4 y2 3 答案 D 解析 由题意知点(2，)在渐近线 y x 上，所以 ，又因为抛物线的准3 b a b a 3 2 线为 x，所以 c，故 a2b27，所以 a2，b故双曲线的方程为773 1选 D x2 4 y2 3 三、模拟小题 12(2019福建漳州八校联考)已知圆 M：(x)2y236，定点 N(，0)，55 点 P 为圆 M 上的动点， 点 Q 在 NP 上， 点 G 在线段 MP 上， 且满足2，NP
9、NQ GQ 0，则点 G 的轨迹方程是( )NP A 1 B1 x2 9 y2 4 x2 36 y2 31 C 1 D1 x2 9 y2 4 x2 36 y2 31 答案 A 解析 由2，0 知所在直线是线段 NP 的垂直平分线，连NP NQ GQ NP GQ 接 GN，|GN|GP|，|GM|GN|MP|62，点 G 的轨迹是以 M，N 为5 焦点的椭圆，其中 2a6，2c2，b24，点 G 的轨迹方程为 1，故5 x2 9 y2 4 选 A 13(2018深圳调研)如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，AD2，E，F 分 别为边 CD， AD 的中点， M 为 AE 和 BF 的交点，
10、 则以 A， B 为长轴端点， 且经过 M 的椭圆的标准方程为( ) A 1 B 1 x2 4 y2 5 x2 4 y2 3 C 1 D y21 x2 4 y2 2 x2 4 答案 D 解析 以 AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， 则 BF： x4y2， AE： yx2， 联立两直线方程可得 M ， 显然在椭圆 y2 6 5 4 5 x2 4 1 上，故选 D 14(2018长沙统考)设点 A(1，0)，B(1，0)，M 为动点，已知直线 AM 与直 线 BM 的斜率之积为定值 m(m0)， 若点 M 的轨迹是焦距为 4 的双曲线(除去点 A， B)，则 m
11、( ) A15 B3 C D153 答案 B 解析 设动点 M(x，y)，则直线 AM 的斜率 kAM，直线 BM 的斜率 kBM y x1 ，所以m，即 x2 1因为点 M 的轨迹是焦距为 4 的双 y x1 y x1 y x1 y2 x21 y2 m 曲线(除去点 A，B)，所以 1m4，所以 m3故选 B 15 (2018江西九江联考)设 F(1， 0)， 点 M 在 x 轴上， 点 P 在 y 轴上， 且2MN ，当点 P 在 y 轴上运动时，则点 N 的轨迹方程为_MP PM PF 答案 y24x 解析 设 M(x0，0)， P(0， y0)， N(x， y)， 由2， 得Error
12、!即Error!因为MN MP PM ，(x0， y0)，(1， y0)， 所以(x0， y0)(1， y0)0， 所以 x0y 0，PF PM PF 2 0 即x y20，所以点 N 的轨迹方程为 y24x 1 4 16(2018中原名校联考)已知双曲线 y21 的左、右顶点分别为 A1，A2， x2 2 点 P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同于 A1，A2的两个不同的动点，则直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹方程为_ 答案 y21(x0，且 x) x2 2 2 解析 由题设知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，则有 ： 直线 A1P 的方程为 y222 (x)， y1 x
13、1 2 2 直线 A2Q 的方程为 y(x)， y1 x1 2 2 联立，解得Error!得Error! 所以 x0，且|x| 时，SOPQ888； 1 4 4k21 4k21(1 2 4k21) 当 0k2 时，SOPQ88 1 4 4k21 14k2(1 2 14k2) 因 0k20， 所以|MN|1k2 x 1x22 1k2 x 1x224x1x2 22 1k212k2 m2 12k22 又定圆 x2y2 的圆心到直线 l：ykxm 的距离为 d， 3 2 |m| 1k2 所以|GH|22r2d2 3 2 m2 1k2 因为2为定值， |MN| |GH| 1k2212k2 m2 12k2233k2 2m2 所以设( 为定值)， 1k2212k2 m2 12k2233k2 2m2 化简得2(12k2)2(1k2)2m2(1k2)2(12k2)3(12k2)2(1k2)0， 所以2(12k2)2(1k2)20且(1k2)2(12k2)3(12k2)2(1k2)0， 解得k 1