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1、考点测试 59 随机事件的概率 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低等难度 考纲研读 1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与 概率的区别 2了解两个互斥事件的概率加法公式 一、基础小题 1从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件，观察正品件数和次 品件数，下列事件是互斥事件的是( ) 恰好有 1 件次品和恰好有两件次品；至少有 1 件次品和全是次品；至 少有 1 件正品和至少有 1 件次品；至少 1 件次品和全是正品 A B C D 答案 D 解析 根据互斥事件概念可知选 D 2从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一
2、等品，事件 B抽到 二等品，事件 C抽到三等品，且已知 P(A)065，P(B)02，P(C)01， 则事件“抽到的不是一等品”的概率为( ) A07 B065 C035 D03 答案 C 解析 事件“抽到的不是一等品”与事件 A 是对立事件，由于 P(A)065， 所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为 P1P(A)1 065035选 C 3甲、乙两位同学在国际象棋比赛中，和棋的概率为 ，乙同学获胜的概率为 1 2 ，则甲同学不输的概率是( ) 1 3 A B C D 1 2 1 3 1 6 2 3 答案 D 解析 因为乙获胜的概率为 ，所以甲不输的概率为 1 故选 D 1
3、3 1 3 2 3 4从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件 A： “这个三角形是等腰三角形” ，下列推断正确的是( ) A事件 A 发生的概率等于1 5 B事件 A 发生的概率等于2 5 C事件 A 是不可能事件 D事件 A 是必然事件 答案 D 解析 根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三 角形，所以 A 是必然事件故选 D 5 设条件甲 ： “事件 A 与事件 B 是对立事件” ， 结论乙 ： “概率满足 P(A)P(B) 1” ，则甲是乙的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若事件
4、A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率的加 法公式得 P(A)P(B)1，充分性成立设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现 一次正面” ， 事件 B： “3 次出现正面” ， 则 P(A) ， P(B) ， 满足 P(A)P(B)1， 7 8 1 8 但 A，B 不是对立事件，必要性不成立故甲是乙的充分不必要条件 6一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1，2，3，4，5，6将这 个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示“向上的一面出现奇数” ，事件 B 表示“向上 的一面出现的数字不超过 3” ，事件 C 表示“向上的一面出现的数字不小于 4” ，则 ( ) A
5、A 与 B 是互斥而非对立事件 BA 与 B 是对立事件 CB 与 C 是互斥而非对立事件 DB 与 C 是对立事件 答案 D 解析 AB出现数字1或3， 事件A， B不互斥更不对立 ； BC， BC ( 为必然事件)，故事件 B，C 是对立事件故选 D 7对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A两次都击中飞机，B 两次都没击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机，其 中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_ 答案 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D B 与 D 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况， 因为 AB， AC ， BC， BD， 故A与B，
6、A与C， B与C， B与D为互斥事件 而BD， B DI，故 B 与 D 互为对立事件 二、高考小题 8(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 045，既用现 金支付也用非现金支付的概率为 015，则不用现金支付的概率为( ) A03 B04 C06 D07 答案 B 解析 设事件 A 为只用现金支付，事件 B 为只用非现金支付，事件 C 为既用 现金支付也用非现金支付， 则P(A)P(B)P(C)1， 因为P(A)0 45， P(C)0 15， 所以 P(B)04故选 B 9(经典全国卷)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动， 则周六、周日都有同学参加公益活动
7、的概率为( ) A B C D 1 8 3 8 5 8 7 8 答案 D 解析 解法一 ： 4 位同学各自在周六、 日任选一天参加公益活动共有 2416(种) 结果，而周六、日都有同学参加公益活动有两种情况 ： 一天一人，另一天三人，C A 8(种)；每天二人，有 C 6(种)，所以 P 故选 D 1 42 22 4 86 16 7 8 解法二(间接法)：4 位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动，共有 24 16(种)结果，而 4 人都选周六或周日有 2 种结果，所以 P1 故选 D 2 16 7 8 三、模拟小题 10(2018山西四校联考)从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个，
8、则取出 的这两个数之和为偶数的概率是( ) A B C D 1 6 1 3 1 2 1 5 答案 B 解析 由题意知所有的基本事件有 C 共 6 个，和为偶数的基本事件有(1，3)， 2 4 (2，4)，共 2 个，故所求概率为 2 6 1 3 11(2018河南新乡二模)已知随机事件 A，B 发生的概率满足条件 P(AB) ，某人猜测事件 发生，则此人猜测正确的概率为( ) 3 4 AB A1 B C D0 1 2 1 4 答案 C 解析 事件 与事件 AB 是对立事件， 事件 发生的概率为 P( ABABA )1P(AB)1 ，则此人猜测正确的概率为 故选 CB 3 4 1 4 1 4 1
9、2(2018河南濮阳二模)如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 ，且是 1 2 相互独立的，则灯亮的概率为( ) A B C D 3 16 3 4 13 16 1 4 答案 C 解析 灯泡不亮包括两种情况：四个开关都开，下边的 2 个都开，上边 的 2 个中有一个开 灯泡不亮的概率是 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ，灯亮和灯不亮是两个对立事件，灯亮的概率是 1故选 C 3 16 3 16 13 16 13(2018福建漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“论语知识 大赛” ，决出第 1 名到第 5 名的名次甲、乙两
10、名参赛者去询问成绩，回答者对甲 说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名” ；对乙说“你当然不会是最 差的” 从上述回答分析，丙是第一名的概率是( ) A B C D 1 5 1 3 1 4 1 6 答案 B 解析 甲和乙都不可能是第一名，第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑 到所有的限制条件对丙、 丁、 戊都没有影响， 这三个人获得第一名是等概率事件， 丙是第一名的概率是 故选 B 1 3 14(2018云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓 球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺 3 7 1 4 得女子乒乓球单打冠军的概率为_ 答案
11、19 28 解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军” 和“乙夺得冠军” ，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事 件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 3 7 1 4 19 28 一、高考大题 1(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位 ： 元)，继续购买该险种的投保 人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出 险次数 012345 保费0 85aa1 25a1 5a1 75a2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数012345 频数605
12、030302010 (1)记 A 为事件 ： “一续保人本年度的保费不高于基本保费” 求 P(A)的估计值 ； (2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” 求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值 解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2 由所给数据知一年内出险次数小于 2 的频率为055，故 P(A)的估计 6050 200 值为 055 (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4由所给数据知一年 内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为03，故 P(B)的估计值为 03 3030 200 (3
13、)由所给数据得 保费0 85aa1 25a1 5a1 75a2a 频率0300 250150 150100 05 调查的 200 名续保人的平均保费为 085a030a025125a01515a015175a010 2a00511925a 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 11925a 二、模拟大题 2(2018山西太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过 1 kg 的包裹收费 10 元；质量超过 1 kg 的包裹，除 1 kg 收费 10 元之外，超过 1 kg 的部分，每 1 kg(不足 1 kg，按 1 kg 计算)需再收 5 元 该公司对近 60 天，每天揽件数量统计
14、如下表： 包裹件数范 围 0 100 101 200 201 300 301 400 401 500 包裹件数(近 似处理) 50150250350450 天数6630126 (1)某人打算将 A(03 kg)，B(18 kg)，C(15 kg)三件礼物随机分成两个包 裹寄出，求该人支付的快递费不超过 30 元的概率； (2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取 5 元作为前台工作人员的工资和公 司利润， 剩余的作为其他费用 前台工作人员每人每天揽件不超过 150 件， 工资 100 元，目前前台有工作人员 3 人，那么公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利 润是否更有利？ 解 (1)由题意
15、，寄出方式有以下三种可能： 所有 3 种可能中，有 1 种可能快递费未超过 30 元，根据古典概型概率计算公 式，所求概率为 1 3 (2)由题目中的天数得出频率，如下： 包裹件数范 围 0 100 101 200 201 300 301 400 401 500 包裹件数(近 似处理) 50150250350450 天数6630126 频率0101050201 若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数(近似处理)50150250350450 实际揽件数50150250350450 频率0101050201 平均揽件数 500 11500 12500 53500 24500 1 260 故公司每日利润为 260531001000(元)； 若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数(近似处理)50150250350450 实际揽件数50150250300300 频率0101050201 平均揽件数 500 11500 12500 53000 23000 1 235 故公司平均每日利润为 23552100975(元) 综上，公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利