《2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理教学案含解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2节二项式定理教学案含解.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二节 二项式定理第二节 二项式定理 考纲传真 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 1二项式定理 (1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN N*)； 0n1nr nn n (2)通项公式：Tr1Canrbr，它表示第r1 项； r n (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C ，C ，C . 0n1nn n 2二项式系数的性质 性质性质描述 对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即 C C k nnkn 当k(nN N*)时，二项式系数是递减的 n1 2 当n为偶数时， 中间的一项取得最大值 最大值 当n为奇数时，中间的两项和相等，同时取得最大值 常
2、用结论 1C C C C 2n. 0n1n2nn n 2C C C C C C 2n1. 0n2n4n1n3n5n 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)Cankbk是(ab)n的展开式中的第k项( ) k n (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 ( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关 ( ) (4)通项Tk1Cankbk中的a和b不能互换( ) k n 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)(12x)4展开式中第 3 项的二项式系数为( ) A6 B6 C24 D24 A A (12x)4展
3、开式中第 3 项的二项式系数为 C 6.故选 A. 2 4 3(教材改编)二项式的展开式中x3y2的系数是( ) ( 1 2x2y) 5 A5 B20 C20 D5 A A 二项式 5的通项为Tr1C (2y) .根据题意，得 ( 1 2x2y) r5(1 2x) 5r r Error!解得r2.所以x3y2的系数是 C(2)25.故选 A. 2 5(1 2) 3 4(教材改编)的值为( ) C 02 019C12 019C22 019C2 0192 019 C 02 020C22 020C42 020C2 0202 020 A1 B2 C2 019 D2 0192 020 B B 原式1.故
4、选 A. 22 019 22 0201 22 019 22 019 5(1x)n的二项展开式中，仅第 6 项的系数最大，则n_. 10 T6Cx5，又仅有第 6 项的系数最大，n10. 5n 二项展开式的有关问题 【例 1】 (1)(x22)的展开式的常数项是( ) ( 1 x21) 5 A3 B2 C2 D3 (2)(2018广州二模)的展开式中，x3y3的系数是_(用数字作答) (x 22 xy) 6 (1)D D (2)120 (1)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足 ： 第一个因式取x2项，第二个因式取项得x2C (1)45； 第一个因式取 2，第二个因式 1 x
5、2 1 x2 1 5 取(1)5得 2(1)5C 2，故展开式的常数项是 5(2)3，故选 D. 5 5 (2)表示 6 个因式x2 y的乘积，在这 6 个因式中，有 3 个因式选y，其余 (x 22 xy) 6 2 x 的3个因式中有2个选x2， 剩下一个选 ， 即可得到x3y3的系数 即x3y3的系数是C C (2) 2 x 3 6 2 3 203(2)120. 规律方法 求二项展开式中的特定项的方法,求二项展开式的特定项问题， 实质是考查 通项Tk1的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的 取值范围k0，1，2，n. 1第m项：此时k1m，直接代入通项； 2常数项：
6、即这项中不含“变元” ，令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程； 3有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项的系数问题及相关参 数值的求解等都可依据上述方法求解. 4求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦. (1)若的展开式中常数项为，则实数a的值为( ) (x 2 1 ax) 6 15 16 A2 B.1 2 C2 D1 2 (2)已知在的展开式中，第 6 项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是 ( 3 x 1 2 3 x) n _ (1)A A (2)x2， ，x 2 (1)的 展 开 式 的 通 项 为Tr 1 45 4 63 8 45 25
7、6(x 2 1 ax) 6 ，令 123r0，得r4.故 C ，即， 4 6 ( 1 a) 4 15 16( 1 a) 4 1 16 解得a2.故选 A. (2)由Tr1 r . 第 6 项为常数项，r5 时有0，即n10. n2r 3 当Error!时，即r2,5,8 时Z Z， 102r 3 所以展开式中的有理项分别为x2，x2. 45 4 63 8 45 256 二项式系数的性质及应用 考法 1 二项式系数的和 【例 2】 (1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 321，则x2 (x 3 x) n 的系数为( ) A50 B70 C90 D120 (2)(2019汕头质检)若
8、(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9， 且(a0 a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_ (1)C C (2)3 或 1 (1)令x1，则 n4n，所以n的展开式中，各项系数 (x 3 x)(x 3 x) 和为4n， 又二项式系数和为2n， 所以2n32， 解得n5.二项展开式的通项Tr1Cx5r r 4n 2n r5 ( 3 x) C 3rx5r，令 5r2，得r2，所以x2的系数为 C 3290，故选 C. r5 3 2 3 2 2 5 (2)令x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令x2，则m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3a9)
9、2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3 a8a9)39， (2m)9m939，m(2m)3， m3 或m1. 考法 2 二项式系数的性质 【例 3】 设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开 式的二项式系数的最大值为b，若 13a7b，则m( ) A5 B6 C7 D8 B B 根据二项式系数的性质知，(xy)2m的二项式系数最大的项有一项，即 C a，(x m2m y)2m1的二项式系数最大的项有两项，即 CCb.又 13a7b，所以 13C 7C， m2m1m12m1m2mm2m1 将各选项中m的取值逐个代入验证，知m6 满足等式 规律方法 1.“赋值
10、法” 普遍适用于恒等式， 对形如axbn， ax2bxcma， b，cR R的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2.若fxa0a1xa2x2anxn，则fx展开式中各项系数之和为f1，奇 数项系数之和为a0a2a4偶数项系数之和为a1a3a5 (1)若的展开式中含x的项为第6项， 设(13x)na0a1xa2x2 (x 21 x) n anxn，则a1a2an的值为_ (2)已知的展开式中的二项式系数和为 32，的展开式中的各项系 (2x 1 x) n (x a x)(2x 1 x) n 数的和为 2，则该展开式中的常数项为_ (1)255 (2)40 (1) n展开式的第k1 项为
11、Tk1C (x2)nk (x 21 x) k n ( 1 x) k C (1)kx2n3k， k n 当k5 时，2n3k1，n8. 对(13x)8a0a1xa2x2a8x8， 令x1，得a0a1a828256. 又当x0 时，a01， a1a2a8255. (2)的展开式中的二项式系数和为 32， 所以 2n32， 所以n5.令x1， 得 (2x 1 x) n (x a x) 的展开式中的各项系数的和为(1a)(21)52，所以a1，所以的展 (2x 1 x) n (x 1 x)(2x 1 x) 5 开式中的常数项为 C (1)3253C (1)225240. 3 52 5 1(2017全国
12、卷)(1x)6展开式中x2的系数为( ) (1 1 x2) A15 B20 C30 D35 C C 因为(1x)6的通项为 Cxr， 所以(1x)6展开式中含x2的项为 1Cx2和C r6 (1 1 x2) 2 6 1 x2 x4. 4 6 因为 C C 2C 230， 2 64 62 6 6 5 2 1 所以(1x)6展开式中x2的系数为 30. (1 1 x2) 故选 C. 2(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2项的系数为( ) A10 B20 C30 D60 C C 法一：利用二项展开式的通项公式求解 (x2xy)5(x2x)y5， 含y2的项为T3C (x2x)3y2. 2 5 其中(x2x)3中含x5的项为 Cx4xCx5. 1 31 3 所以x5y2项的系数为 C C 30.故选 C. 2 5 1 3 法二：利用组合知识求解 (x2xy)5为 5 个x2xy之积， 其中有两个取y， 两个取x2， 一个取x即可， 所以x5y2 的系数为 C C C 30.故选 C. 2 5 2 3 1 1