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1、第四节 二次函数与幂函数第四节 二次函数与幂函数 考纲传真 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx，y 1 2 1 x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式 之间的关系解决简单问题 1二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)ax2bxc(a0)； 顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)； 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点 (2)二次函数的图象与性质 函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0) 图象 定义域R R 值域 4acb2
2、4a ，) (， 4acb2 4a 单调性 在上减， (， b 2a 在上增 b 2a，) 在上增， (， b 2a 在上减 b 2a，) 奇偶性当b0 时为偶函数 对称性函数的图象关于直线x对称 b 2a 2.幂函数 (1)定义：形如yx(R R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数 (2)五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性 质 yxyx2yx3 yx1 2 yx1 图象 定义域R RR RR Rx|x0x|x0 值域R Ry|y0R Ry|y0y|y0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增 (， 0) (0， )增减， 增增 (，0)和 (0，)减 公共点(1,1) 常用结论 1与二次
3、函数有关的恒成立问题 设f(x)ax2bxc(a0)，则 (1)f(x)0 恒成立的充要条件是Error!； (2)f(x)0 恒成立的充要条件是Error!； (3)f(x)0(a0)在区间m，n恒成立的充要条件是Error!； (4)f(x)0(a0)在区间m，n恒成立的充要条件是Error!. 2幂函数yx(R R)的图象特征 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在 第二、三象限内，要看函数的奇偶性 (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 (3)当0 时，yx在0，)上为增函数； 当0 时，yx在(0，
4、)上为减函数 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)二次函数yax2bxc，xR R，不可能是偶函数( ) (2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是. ( ) 4acb2 4a (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)( ) (4)当n0 时，幂函数yxn在(0，)上是增函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)已知幂函数f(x)x的图象过点(4,2)，若f(m)3，则实数m的值为 ( ) A. B33 C D99 D D 由题意可知 4222，所以 . 1 2 所以f(x)x， 1 2 x 故f(m)3m
5、9.m 3已知函数f(x)ax2x5 的图象在x轴上方，则a的取值范围是( ) A. B. (0， 1 20)(， 1 20) C. D. ( 1 20，)( 1 20，0) C C 由题意知Error!即Error!得a. 1 20 4(教材改编)如图是yxa； yxb； yxc在第一象限的图象，则a，b，c的大小 关系为( ) Acba Babc Cbca Dacb D D 由图象知的指数大于零且bc，的指数小于零，因此bca，故选 D. 5若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_. 4 f(x)x2(a4)x4a，由f(x)是偶函数知a40，所以a4. 幂函数的图象与性质 1幂函数
6、yf(x)的图象过点(8,2)，则幂函数yf(x)的图象是( )2 A B C D C C 令f(x)x，由f(8)2得 82，22 即 232 ，解得 ，所以f(x)x，故选 C. 3 2 1 2 1 2 2若a，b，c，则a，b，c的大小关系是( ) ( 1 2) 2 3 ( 1 5) 2 3 ( 1 2) 1 3 Aabc Bcab Cbca Dbac D D a，b，c，由 得bac，故选 D. ( 1 2) 2 3 ( 1 4) 1 3 ( 1 5) 2 3 ( 1 25) 1 3 ( 1 2) 1 3 1 25 1 4 1 2 3(2019兰州模拟)已知幂函数f(x)kx的图象过点
7、，则k等于 ( 1 2， 2 2) ( ) A. B1 1 2 C. D2 3 2 C C 由幂函数的定义知k1. 又f， ( 1 2) 2 2 所以，解得 ，从而k . ( 1 2) 2 2 1 2 3 2 4若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_ 1 2 1 2 易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以Error!解 1 1， 2 2 3 3) 1 2 得1a . 2 3 规律方法 幂函数的性质与图象特征的关系 1幂函数的形式是yxR R，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可 确定其解析式. 2判断幂函数yxR R的奇偶性时，当是分数时，一般将其先化为根式， 再判
8、断. 3若幂函数yx在0，上单调递增，则0，若在0，上单调递 减，则0. 求二次函数的解析式 【例 1】 (1)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是 8， 则f(x)_. (2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1， 则f(x) _. (1)4x24x7 (2)x22x (1)法一(利用一般式)： 设f(x)ax2bxc(a0) 由题意得Error! 解得Error!所求二次函数为f(x)4x24x7. 法二(利用顶点式)： 设f(x)a(xm)2n. f(2)f(1)， 抛物线的图象的对称轴为x . 21 2 1 2 m
9、 .又根据题意函数有最大值 8，n8. 1 2 yf(x)a8. (x 1 2) 2 f(2)1，a 281， (2 1 2) 解得a4， f(x)484x24x7. (x 1 2) 2 (2)设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax， 由1， 4a 04a2 4a 得a1，所以f(x)x22x. 规律方法 求二次函数解析式的方法 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR R)，xR R，若函数f(x)的最小值 为f(1)0，则f(x)_. (2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR R)是偶函数，且它的值域为(，4， 则该函数的解析式f(x)_. (
10、1 1)x22x1 (2)2x24 (1)由题意知Error!解得Error! 从而f(x)x22x1. (2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，所以a，即b2 或a0， ( 2a b) 当a0时，则f(x)bx2，值域为(，0或0，), 不满足已知值域(，4，a0 舍去， 所以f(x)2x22a2， 又f(x)的值域为(，4， 所以 2a24， 故f(x)2x24. 二次函数的图象与性质 考法 1 二次函数的图象 【例 2】 已知abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是( ) D D A 项，因为a0，0， b 2a 所以b0.又因为abc0，所以c0， 而f(0)c
11、0，故 A 错 B 项，因为a0，0，所以b0. b 2a 又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故 B 错 C 项，因为a0，0，所以b0. b 2a 又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，故 C 错 D 项，因为a0，0，所以b0 时，g(x)在1,3上是增函数， 所以g(x)maxg(3)7m60， (x 1 2) 2 3 4 又因为m(x2x1)60 恒成立， 即g(k) (x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立 只需g(1)0 且g(1)0，即Error! 解得x1 或x3，所以x的取值范围为(，1)(3，) 规律方法 形如fx0fx0恒成立问题的求解思路 1xR R
12、的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解. 2xa，b的不等式确定参数范围时，根据函数的单调性，求其最值，让最值大 于等于或小于等于 0，从而求出参数的范围；数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取 值特点确定不等式求参数的取值范围.分离参数，变为agx或agx恒成立问题， 然后再求gx的最值. 3已知参数ka，b的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的 范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. (1)当x(1,2)时，不等式x2mx40 恒成立，则m的取值范围是 _ (2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3 在x1,1上恒小于零，则实数a的取值
13、范围为_ (1 1)(，5 5 (2 2) (1)设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，f(x)0 恒 ( ，1 1 2 2) 成立Error!Error!m5. (2)2ax22x30 在1,1上恒成立 当x0 时，30，成立； 当x0 时，a ，因为 (，11，)，当x1 时，右边取最 3 2( 1 x 1 3) 2 1 6 1 x 小值 ，所以a . 1 2 1 2 综上，实数a的取值范围是. (， 1 2) 1(2016全国卷)已知a2 ，b3 ，c25 ，则( ) 4 3 2 3 1 3 Abac Babc Cbca Dcab A A 利用幂函数的性质比较大小a2 4 ，b3 ，c25 5 . 4 3 2 3 2 3 1 3 2 3 yx在第一象限内为增函数，又 543，cab. 2 3 2 (2014全国卷)设函数f(x)则使得f(x)2 成立的x的取值范围是 _ (，8 8 当x1 时，x10，ex1e012， 当x1 时满足f(x)2. 当x1 时，x2，x238，1x8. 1 3 综上可知x(，8 自我感悟：_ _ _