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1、课时提升作业 九课时提升作业 九 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2016青岛高二检测)已知椭圆+=1 上一点 P 到其中一个焦点的距离为 3,则点 P 到另一个焦点的 距离为 ( ) A.2B.3C.5D.7 【解析】选 D.设该椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则 |PF2|=7. 2.(2016日照高二检测)已知椭圆+=1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2,N 是 MF 的中点,O 为 坐标原点,那么线段 ON
2、的长是 ( ) A.2B.4C.8D. 【解析】选 B.设椭圆的另一个焦点为 E,如图, 则|MF|+|ME|=10, 所以|ME|=8. 又 ON 为MEF 的中位线, 所以|ON|= |ME|=4. 3.椭圆+=1 的焦距是 2,则 m 的值是 ( ) A.5B.3 或 8C.3 或 5D.20 【解析】选 C.由题意得 2c=2,c=1,故有 m-4=1 或 4-m=1, 所以 m=5 或 m=3. 4.(2016淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点 到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程 为 ( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1
3、 或+=1 D.以上都不对 【解析】选 C.设短轴的一个端点为 P,焦点分别为 F1,F2, 因为PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得 b=c,即=c. 又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为, 所以 a-c=, 联立,可得a=2,c=,b=3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或 +=1. 5.已知椭圆+y2=1 的焦点为 F1,F2,点 M 在该椭圆上,且=0,则点 M 到 x 轴的距离为 ( ) A.B.C.D. 【解题指南】由=0 知MF1F2为直角三角形,可根据面积求 M 到 x 轴的距离. 【解析】选 C.由=0,得 MF1MF2,可设|=m,|
4、=n,在F1MF2中,由 m2+n2=4c2得 (m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有 m+n=2a,所以 2mn=4a2-4c2,故 mn=2b2,即 mn=2, 所以= mn=1, 设点 M 到 x 轴的距离为 h,则 |F1F2|h=1, 又|F1F2|=2,故 h=. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为 3和1,则椭圆的 标准方程为 . 【解析】由题意可得所以 故 b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1. 答案:+=1 7.设 P 是椭圆+
5、=1 上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|PF2|的最大值是 . 【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8, 所以|PF1|PF2|=16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”, 故|PF1|PF2|的最大值是 16. 答案:16 8.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,POF2是面积为的正三角形,则 b2= . 【解析】由题意=c2=,所以 c=2,所以 a2=b2+4. 由题意得点 P 坐标为(1,),把 x=1,y=代入椭圆方程+=1 中得+=1,解得 b2=2 . 答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)三
6、、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程. 【解析】当焦点在 x 轴上时,设其方程为+=1(ab0).由椭圆过点 P(3,0),知+=1,又 a=3b,解得 b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1. 当焦点在 y 轴上时,设其方程为+=1(ab0). 由椭圆过点 P(3,0),知+=1,又 a=3b,联立解得 a2=81,b2=9,故椭圆的方程为+=1. 故椭圆的标准方程为+=1 或+y2=1. 10.(2016郑州高二检测)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,
7、M 为 PD 上一点,且 |MD|= |PD|. 当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程. 【解题指南】设 M(x,y),由等式|MD|= |PD|坐标化,即得轨迹方程. 【解析】设点 M 的坐标是(x,y),P 的坐标是(xP,yP), 因为点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|,所以 xP=x,且 yP= y. 因为 P 在圆 x2+y2=25 上, 所以 x2+=25,整理得+=1,即点 M 的轨迹 C 的方程是+=1. 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016郑州高二检测)
8、已知方程+=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 ( ) A.mb0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设 直线 PF2与椭圆交于 M,N 两点,若|MN|=16,则椭圆的方程 为 ( ) A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 【解析】选 B.因为点 P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得 2+ -1=0, 所以 = . 所以 a=2c,b=c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2的方程为 y=(x-c),代入椭圆方程,消去 y 并 整理,得 5x2-8cx=0,解得 x=0 或 c, 得
9、M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以 c=5,所以椭圆方程为+=1. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016温州高二检测)已知椭圆+=1 的两个焦点是 F1,F2,点 P 在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则 PF1F2的面积是 . 【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4, 又|PF1|-|PF2|=2, 所以得|PF1|=3,|PF2|=1, 因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2, 所以PF1F2是直角三角形, 所以= |F1F2|PF2|=. 答案: 4.(2016唐山高
10、二检测)已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点Al,线段AF交C于点B,若 =3,则|= 【解题指南】设出 A 点的坐标,利用=3求出 A 点坐标,即可求出|的大小. 【解析】设 A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0), =(x1-1,y1),由=3, 得(1,y0)=3(x1-1,y1), 所以又点 B 在椭圆 C 上, 所以+=1,解得 y0=1, 所以 A 点坐标为(2,1), 所以|=. 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.(2016烟台高二检测)已知椭圆+=1(ab0)的焦点分别为 F1
11、(0,-1),F2(0,1),且 3a2=4b2. (1)求椭圆的方程. (2)设点 P 在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求F1PF2的余弦值. 【解析】(1)由题意得椭圆焦点在 y 轴上,且 c=1. 又因为 3a2=4b2,所以 a2-b2= a2=c2=1, 所以 a2=4,b2=3, 所以椭圆标准方程为+=1. (2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1. 又由椭圆定义知, |PF1|+|PF2|=4, 所以|PF1|= ,|PF2|= , |F1F2|=2, cosF1PF2= . 6.(2016连云港高二检测)设 F1,F2分别是椭圆+y2=1 的左、右焦点,B 为椭圆
12、上的点且坐标为(0,-1). (1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求|PF1|PF2|的最大值. (2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点,且=,求的值. (3)设 P 是该椭圆上的一个动点,求PBF1的周长的最大值. 【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1, 所以 a=2,b=1,c=, 即|F1F2|=2, 又因为|PF1|+|PF2|=2a=4, 所以|PF1|PF2|=4, 当且仅当|PF1|=|PF2|=2 时取“=”, 所以|PF1|PF2|的最大值为 4. (2)设 C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0), 由=得 x0=,y0=- . 又+=1,所以有2+6-7=0, 解得=-7 或=1,C 异于 B 点,故=1 舍去.所以=-7. (3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|4+|BF2|, 所以PBF1的周长4+|BF2|+|BF1|=8, 所以当 P 点位于直线 BF2与椭圆的交点处时,PBF1周长最大,最大值为 8.