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1、-1- 第2 2课时 等角定理与异面直线所成的角 -2- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 -3- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 1.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补. 名师点拨等角定理的符号语言与图形语言及作用. (1)图形语言:如图所示. (2)符号语言:已知OAOA,OBOB,则AOB=AOB或 AOB+AOB=180.
2、(3)作用:判断或证明两个角相等或互补. -4- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 【做一做1】 空间两个角,的两边分别对应平行,且方向相同,若 =50,则等于( ) A.50B.130 C.40D.50或130 解析:由等角定理知与相等. 答案:A -5- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 2.异面直线所成的角 如图所示,过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线
3、l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直 线a,b所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角,我们称这两条 直线互相垂直.记作:ab. -6- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 做一做2 如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G分别为BC,AD,DB 的中点,若AB与CD所成的角为60,则FGE= . 解析:因为E,F,G分别为BC,AD,DB的中点,所以FGAB,EGDC, 所以FGE=60或120. 答案:60或120 -7- 第2课时 等角定理与
4、异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形. 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相同,则 这两个角相等. ( ) (2)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且有一组对边方 向相同,另一组对边方向相反,则这两个角互补. ( ) (3)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等. ( ) (4)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反,
5、则 这两个角互补. ( ) (5)两条异面直线所成角的范围为0,90). ( ) -8- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 探究探究一等角定理的应用等角定理的应用 【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱 AD和A1D1的中点.求证: (1)四边形BB1M1M为平行四边形; (2)BMC=B1M1C1. 分析:本题是在正方体中研究问题,(1)欲证四边形BB1M1M是平行 四边形,可证其一组对边平行且相等;(2)可结合(1)利用定
6、理证明或 利用三角形全等证明. -9- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中 点,MM1=AA1,MM1AA1. 又AA1=BB1,AA1BB1, MM1=BB1,且MM1BB1. 四边形BB1M1M为平行四边形. (2)方法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, B1M1BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, C1M1CM. 由平面几何知识可知,BMC和B1M1C1都是锐 角,
7、BMC=B1M1C1. -10- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, B1M1=BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形. C1M1=CM. 又B1C1=BC,BCM B1C1M1. BMC=B1M1C1. 反思感悟1.要明确等角定理的两个条件,即两个角的两条边分别 对应平行,并且方向相同,这两个条件缺一不可. 2.空间中证明两个角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形 的相似或全等,还可以利用平行四边形
8、的对角相等.在利用等角定 理时,关键是弄清楚两个角对应边的关系. -11- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 变式训练变式训练1在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为边A1C1,AC和AB 的中点. 求证:PNA1=BCM. 证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PNBC. 又M,N分别为A1C1,AC的中点,所以A1MNC. 所以四边形A1NCM为平行四边形,故A1NMC. 由及PNA1与BCM对应边方向相同,得PNA1=BCM. -12- 第
9、2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 探究二求两条异面直线所成的角探究二求两条异面直线所成的角 【例2】 如图所示,已知正方体ABCD-ABCD. (1)哪些棱所在的直线与直线BC是异面直线? (2)求异面直线AD与BC,BC与CD所成角的大小以及AC与AB所 成角的正切值. 分析:(1)按照异面直线的定义进行判断;(2)根据异面直线所成角 的定义进行求解. -13- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当
10、堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 解:(1)所在直线与BC是异面直线的棱 有:AA,DD,AB,DC,AD,AD. (2)因为ADBC,所以AD与BC所成的角就是BC与BC所成的角. 因为BCBC,所以AD与BC所成的角等于90. 因为ABCD,所以BC与CD所成的角就是BC与AB所成的角. 因为ACB是等边三角形,所以ABC=60,故BC与CD所成角 的大小为60. 因为ABCD,所以ACD就是异面直线AC与AB所成的角. 在ACD中,若设正方体的棱长为a, -14- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIA
11、NCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 反思感悟求异面直线所成的角 1.求两条异面直线所成的角,一般是根据其定义求解,步骤如下: (1)平移;(2)构造三角形;(3)解三角形;(4)作答. 2.在所给几何体中平移直线构造异面直线所成的角时,一般是选 取其中一条直线上的特殊点,如顶点、棱的中点等. -15- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 变式训练变式训练2如图所示,已知三棱锥A-BCD,AD=BC,E,F分别是 AB,CD
12、的中点,且EF= AD,求异面直线AD和BC所成角的大小. -16- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 解:取AC的中点G,连接EG,FG. 因为E,F分别是AB,CD的中点, 由异面直线所成角的定义可知EGF或其补角即为异面直线 AD,BC所成的角. 所以异面直线AD和BC所成的角为90. -17- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题
13、多解 【典例】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是 A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小. 分析:要求异面直线所成角的大小,关键是作出异面直线所成的 角,把它归结到三角形中,通过解三角形就可以得出答案.同时在解 题时要注意异面直线所成角的范围. -18- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 解法1(直接平移法)如图所示. 连接A1C1,B1D1交于点O,取DD1的中点G, 连接GA1,GC1,OG,则OGB1D,E
14、FA1C1,故GOA1或其补角就 是异面直线DB1与EF所成的角. GA1=GC1,O为A1C1的中点,GOA1C1. 异面直线DB1与EF所成的角为90. -19- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 HF2=EF2+HE2,HEF=90, 异面直线DB1与EF所成的角为90. -20- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 解法3如
15、图所示,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN, 则MNEF,所以直线MN与DB1所成的角就是异面直线DB1与EF 所成的角. 连接MB1,DN,DM,B1N,则B1NDM,且B1N=DM,四边形DMB1N 为平行四边形, MN与B1D必相交,设交点为P. DM2=DP2+MP2, DPM=90,即DB1EF, 异面直线DB1与EF所成的角为90. -21- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 解法4(补形法)如图所示,在原正方体的右侧补上一个同样的正方 体,
16、连接B1Q,DQ,则B1QEF. 于是DB1Q或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角,通过计 算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,故异面直线DB1与EF所成的角为90. -22- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 名师点评求两条异面直线所成角大小的步骤:(1)构造:选择适当 的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常 选择特殊位置的点,如线段的端点或中点,也可以是异面直线中某 一直线上的一个特殊点.(2)证明:证明作出的角就是要求的角.(3
17、)计 算:求角度,常利用三角形.(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它 就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是 所求异面直线所成的角. -23- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 1.若AOB=AOB,OAOA,且OA与OA的方向相同,则OB与 OB( ) A.一定平行且方向相同B.一定平行且方向相反 C.一定不平行D.不一定平行 解析:由于两角不一定在同一个平面内或两角所在的平面不一定平 行,因此OB与OB不一定平行. 答案:D -24- 第2课时
18、 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 2.若一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条( ) A.相交B.异面 C.相交或异面 D.平行 解析:在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与直线B1C1 是异面直线,与B1C1平行的直线有A1D1,AD,BC,显然直线AA1与A1D1 相交,与BC异面. 答案:C -25- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习
19、 首页 12345 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为A1B1,B1C1,BB1的中点, 下列说法错误的是( ) A.BA1C1=MEF B.A1BC1=EMF C.B1EM=EA1B D.EFM=A1C1F 解析:由等角定理,可知A,B,C均正确. 答案:D -26- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 4.空间中,角A的两边和角B的两边分别平行,若A=70,则B= . 解析:因为角A的两边和角B的两边分别平行, 所以A=B或A+B=180. 因为
20、A=70,所以B=70或B=110. 答案:70或110 -27- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 5.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是 和CD所成的角的大小. -28- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 EMF(或其补角)为异面直线AB和CD所成的角. AB=3,CD=3,EM=2,MF=1. 又EF= , MF2+EF2=EM2,MFE=90, EMF=60, 异面直线AB和CD所成的角为60.