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1、在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.,在矩阵的运算中, 单位阵 I 相当于数的乘法运算中 的1, 那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1, 使得,AA-1 = A-1A = I,则矩阵A称为可逆矩阵, 称A-1为A逆阵.,一、逆矩阵的概念和性质,2.4 逆 矩 阵,定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 使得 AB = BA = I 则称矩阵A是可逆的, 并称矩阵B为A的逆矩阵. A的逆 矩阵记作A-1, 即,（1）A与,为同阶方阵；,（2）若 B 是 A 的逆矩阵，那么 A 也是 B 的逆矩阵;,(3),例如: 设,由于 AB = B
2、A = I,所以 B 为 A 的逆矩阵.,说明: 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的.,事实上: 若设B和C是A的逆矩阵, 则有,所以, A的逆矩阵是唯一的, 即,AB = BA = E, AC = CA = E,可得:,B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C.,B = C = A-1.,解: 利用待定系数法.,即,则,又因为,则,解得,所以,即,AB = BA = E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的, 必须寻求可行而有效的方法.,证明: 若A可逆, 则有A-1, 使得AA-1 = I.,定理1: 矩阵A可逆的充要条件是| A | 0, 且,其中A
3、*为矩阵A的伴随矩阵.,故 | A | A-1 | = | I | = 1,所以, | A | 0.,由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | I, 知,当| A | 0时,按逆矩阵的定义得,说明：,（1）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件，,并给出了逆矩阵的一种求法公式法.,(2) 上（下）三角矩阵可逆当且仅当,主对角元全不为0，且当,时,这里逆矩阵由定义得到！,若,当 12n 0时，A 可逆，且,例2、当a，b满足什么条件时，矩阵 A 不可逆，其中,解：,由矩阵可逆的充要条件可知：,当a=1或b=2时，A不可逆.,当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异矩阵.
4、,由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.,若A可逆，那么由,AB = O,B = O,由AB = AC,B = C,证明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1,推论: 若 AB=E (或 BA=E), 则 B=A-1.,故| A | 0.,因而, A-1存在,于是,B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.,故结论成立.,推论说明：若 ABE，则一定有 BAE.,当| A | 0 时, 定义,A0 = E, A-k = (A-1)k (k为正整数).,且此时对任意整数, , 有,AA = A+, (A)
5、 = A.,逆矩阵的运算性质,(1) 若矩阵A可逆, 则A-1亦可逆, 且(A-1)-1 = A.,(2) 若矩阵A可逆, 且 0, 则 A 亦可逆, 且,若A, B为同阶可逆方阵, 则AB亦可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1.,证明:,(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AIA-1=AA-1=I,所以,(AB)-1=B-1A-1.,一般地,证明:,(4) 若矩阵A可逆, 则AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.,AT(A-1)T =(A-1A)T=IT =I,所以,(AT)-1=(A-1)T.,求转置和求逆可以换序.,(5) 若矩阵A可逆, 则有| A-1 |=|
6、 A |-1.,证明:,因为 AA-1 = I,所以 | A | | A-1 | = | I | = 1,因此,| A-1 |=| A |-1.,注意：,（1）当 A，B 可逆时，A + B 不一定可逆；,即使 A + B 可逆，一般,反例： 设 A 可逆，取B = A，,显然 B 可逆，但,A + B = O 不可逆.,取 Adiag（2，1），B diag（1，2），,此时A + B = diag (3, 1)可逆，且,显然,解: 因为,二、关于逆矩阵的求法,所以A-1存在.,同理可得,所以,故,解:,例4: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.,所以, A可逆.,由于,同理可
7、得,所以,由于,故B不可逆.,解: 用伴随矩阵的方法求A逆阵.,| A | = ad bc 0.,A11 = d, A21 = b, A12 = c, A22 = a .,设,则A可逆且,则,求二阶矩阵A的逆可用“两换一除”的方法, 其做法如下:,先将矩阵 A 中的主对角元素调换其位置, 再将次对 角元素调换其符号, 最后用 A 的行列式 |A| 除矩阵A的每一个元素, 即可得 A 的逆矩阵 A-1.,利用公式求A的逆矩阵，要注意：,（1）不要忘记除以 |A|;,(2) 注意A的伴随矩阵的定义和其中元素的符号；,（3）适用范围：特殊矩阵，低阶矩阵.,求出A的逆矩阵后，可以检查其正确性： （做矩
8、阵乘法）,例5: 设,问线性方程组AX = b是否有解？如有解，求其解.,解: 由于,所以AX = b有唯一解，且由AX = b可得,即,因为,所以,例5: 设,求矩阵X使其满足 AXB=C.,解: 由于,所以, A-1, B-1都存在. 且,又由 AXB = C, 得 A-1AXBB-1 = A-1CB-1,则 X = A-1CB-1.,于是,X = A-1CB-1,例6: 解矩阵方程,解: 给方程两端左乘矩阵,得,所以,例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2A2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.,证明: 由 A2A2E=O, 得 A(AE)=2E,则,故A可逆,
9、 且A-1 =,又由,可得,因为 A 可逆，所以 A2E 可逆，且,又由 A2A2E=O, 得 (A+2E)(A3E)+4E=O,则,故(A+2E)可逆, 且 (A+2E)-1 =,或者,例8: 设三阶方阵A, B满足关系式: A-1BA=6A+BA,且,求B.,解: 由于|A|=1/56 0,由 A-1BA=6A+BA, 得 A-1BABA=6A,所以A可逆, 且A-1=,则 (A-1E)BA= 6A,由于(A-1E)=,所以(A-1E)可逆, 且,(A-1E)-1=,由A和(A-1E)可逆可得:,B = 6(A-1E)-1,解: 由于| P | =2,A = PP-1,A2 = PP-1
10、PP-1= PP-1 = P2P-1, Am = PmP-1,则 An= PnP-1,而,例10. 设,为非零实矩阵，证明：若,则 A 可逆.,证明：设,那么,于是由条件,可得,又因为A为非零实矩阵，所以,且至少有一个不等于0，假设,将 A 按照第,行展开得：,所以 A 可逆.,例11. 设A，B均为 n 阶可逆矩阵，证明,证明：,（1）因为A，B可逆，所以,从而A, B可逆.,由,得：,（2）因为,所以,且,于是,小结,逆矩阵的概念及运算性质; 逆矩阵A-1存在当且仅当 |A| 0.,逆矩阵的计算方法: (1)待定系数法;,(3)初等变换法(下一节介绍).,(2)伴随矩阵法:,思考题,思考题解答,若A可逆, 那么矩阵方程 AX=B (或YA=B)是否有唯一解: X=A-1B (或X=BA-1)?,若当A为奇异方阵时, 上述方程可能有解但不唯一, 也可能无解.,是的! 这是由A-1的唯一性决定的.,作业：第9697页 40（2）（4）（5） 41 （1）（3） 42 46,